九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 流体工学 問3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図に示すような，水平面と $\pi/4$ の角を成す側面を有する開放形の二次元容器がある。容器の側面には幅 $2R$ の開口部があり，底面の半径が $R$，単位長さあたりの質量が $M$ である円柱が開口部を塞いでいる。円柱がちょうど開口部を塞いだ位置で円柱を支えるためのナイフエッジ（厚さは無視できるものとし，また図に示すように，ナイフエッジは容器内を仕切らない）が容器内部に配置されている。容器内に密度 $\rho$ の水をゆっくり注入したとき，ある高さ（開口部の上端より高いものとする）まで水が注入された時点で，円柱が開口部から容器外へ飛び出した。このとき，重力加速度を $g$ として，以下の問に答えよ。なお円柱は均質かつ比重が1より十分大きな素材でできており，また円柱と容器の開口部端面との間に摩擦はなく，さらに円柱が開口部を塞いでいるときは水の漏れがないものとする。（50点）

(1) 水平方向右向きに $x$ 軸を，鉛直方向上向きに $y$ 軸をとる。円柱が開口部から容器外へ飛び出していないとき，開口部の中心（円柱の中心軸と等しい）を基準とした水面の高さを $b$（ただし $b>R/\sqrt2$）として，円柱に作用する圧力による力の $x$ 成分 $F_x$ および $y$ 成分 $F_y$ を求めよ。

(2) 円柱が開口部から容器外へ飛び出さないための，水面の高さの最大値 $b_{\max}$ を求めよ。

题目描述

如图所示，一个敞口二维容器的侧壁与水平面成 $\pi/4$ 角。侧壁上有宽度为 $2R$ 的开口，由底面半径为 $R$、单位长度质量为 $M$ 的圆柱堵住。容器内部设有刀口支撑，使圆柱恰好保持在堵住开口的位置。刀口厚度可忽略，且如图所示，刀口不会将容器内部分隔。向容器内缓慢注入密度为 $\rho$ 的水，水面达到某一高于开口上端的高度时，圆柱从开口处向容器外弹出。设重力加速度为 $g$，回答下列问题。圆柱均质，材料的比重远大于1；圆柱与容器开口端面之间无摩擦；圆柱堵住开口时不漏水。（50分）

(1) 取水平向右为 $x$ 轴正方向、竖直向上为 $y$ 轴正方向。圆柱尚未从开口弹出时，以开口中心（与圆柱中心轴重合）为基准，将水面高度记作 $b$，其中 $b>R/\sqrt2$。求压力作用于圆柱的力的 $x$ 分量 $F_x$ 和 $y$ 分量 $F_y$。

(2) 求圆柱不从开口向容器外弹出的水面高度最大值 $b_{\max}$。

Kai

(1)

円柱中心から測る偏角を $\theta$ とすると、水に接する半円は $-3\pi/4\le\theta\le\pi/4$ である。大気圧を差し引いた圧力は

$$p(\theta)=\rho g(b-R\sin\theta).$$

単位軸長について、圧力は円柱の内向きに作用するので

$$\begin{aligned} F_x&=-\rho gR\int_{-3\pi/4}^{\pi/4} (b-R\sin\theta)\cos\theta\,d\theta =\boxed{-\sqrt2\rho gRb},\\ F_y&=-\rho gR\int_{-3\pi/4}^{\pi/4} (b-R\sin\theta)\sin\theta\,d\theta =\boxed{\sqrt2\rho gRb+\frac\pi2\rho gR^2}. \end{aligned}$$

(2)

容器外向きの法線は $\boldsymbol n=(-1,1)/\sqrt2$。円柱が離れる限界では、ナイフエッジの反力が0になり、この方向の力が釣り合う。

$$\frac{-F_x+F_y}{\sqrt2}=\frac{Mg}{\sqrt2}.$$

ゆえに

$$2\sqrt2\rho gRb_{\max}+\frac\pi2\rho gR^2=Mg,$$

$$\boxed{b_{\max}=\frac{M}{2\sqrt2\rho R}-\frac{\pi R}{4\sqrt2}}.$$

問題の「上端より高い位置で離脱する」という条件は、この値が $R/\sqrt2$ より大きい範囲に対応する。