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九州大学 工学府 機械系専攻 2019年度 流体工学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

大気に開放された十分大きな水槽に、全長 3L3L、内径 DD の水平な直円管を接続する。管軸は水槽底面から高さ hh にあり、右端は大気開放である。水槽の水位 H0H_0 は底面から測り、一定だが未知である。管摩擦係数 λ\lambda も未知である。

水槽側壁から LL、2L2L 離れた位置①、②に、上端が大気開放の細い液柱計を鉛直に接続する。位置②と右端③の間には、損失係数 ζ\zeta が未知の弁がある。弁をある開度にすると、水は右端から定常に水平噴出し、水槽底面と同じ高さの水平面上で、右端から水平距離 xwx_w の位置へ達した。①、②の液柱計水位は管軸からそれぞれ H1,H2H_1,H_2 であり、2H2>H1>H22H_2>H_1>H_2 とする。

管入口損失、液柱計の分岐損失、噴流と大気との摩擦、弁の長さは無視する。管出口に縮流はない。重力加速度を gg として答えよ。（50点）

  1. 噴出する水の体積流量 QQ を xw,h,g,Dx_w,h,g,D で表せ。
  2. λ\lambda を xw,h,H1,H2,D,Lx_w,h,H_1,H_2,D,L で表せ。
  3. H0H_0 を xw,h,H1,H2x_w,h,H_1,H_2 で表せ。
  4. ζ\zeta を xw,h,H1,H2x_w,h,H_1,H_2 で表せ。

原題の図（九州大学 2019年度 流体工学 問2）

题目描述​

大气开放的大水槽连接长 3L3L、内径 DD 的水平直管，管轴距槽底 hh，右端向大气喷出。未知恒定槽水位 H0H_0 从槽底测量，未知管摩擦系数为 λ\lambda。离槽壁 LL 和 2L2L 的①、②处装开放测压管，水柱高度从管轴量起为 H1,H2H_1,H_2，满足 2H2>H1>H22H_2>H_1>H_2。②与出口③之间装未知损失系数 ζ\zeta 的阀。水平喷流落到槽底同高平面时，水平距离为 xwx_w。忽略入口与测压分支损失、空气摩擦和阀长，出口无缩流。按各问指定变量求体积流量 QQ、管摩擦系数 λ\lambda、水槽水位 H0H_0 和阀损失系数 ζ\zeta。

Kai​

(1)​

管内平均流速を vv とする。噴流の落下時間は 2h/g\sqrt{2h/g} なので

v=xwg2h,Q=πD2xw4g2h.v=x_w\sqrt{\frac{g}{2h}},\qquad \boxed{Q=\frac{\pi D^2x_w}{4}\sqrt{\frac{g}{2h}}}.

以下、速度水頭を K=v2/(2g)=xw2/(4h)K=v^2/(2g)=x_w^2/(4h) とおく。

(2)​

①と②の高さと流速は等しく、圧力水頭差が長さ LL の摩擦損失に等しい。

H1−H2=λLDK.H_1-H_2=\lambda\frac LD K.

よって

λ=4hD(H1−H2)Lxw2.\boxed{\lambda=\frac{4hD(H_1-H_2)}{Lx_w^2}}.

(3)​

水槽自由表面と①の間のベルヌーイ式は

H0=h+H1+K+λLDK.H_0=h+H_1+K+\lambda\frac LD K.

したがって

H0=h+2H1−H2+xw24h.\boxed{H_0=h+2H_1-H_2+\frac{x_w^2}{4h}}.

(4)​

②と③の間には、長さ LL の管摩擦と弁損失がある。

H2=(λLD+ζ)K.H_2=\left(\lambda\frac LD+\zeta\right)K.

(2)を使うと

ζ=4h(2H2−H1)xw2.\boxed{\zeta=\frac{4h(2H_2-H_1)}{x_w^2}}.

与えられた不等式から λ>0\lambda>0、ζ>0\zeta>0 である。

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