九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 流体工学 問2

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• 管道沿程损失
• 局部水头损失

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のとおり，大気に開放された水槽に，1本の直円管，弁，および2本の液柱計で構成されたシステムが接続されている。水槽は十分に大きく，その水位は一定に保たれているが，水槽の底面から測った水位 $H_0$ は不明である。直円管は全長が $3L$，内径が $D$ で，水槽側壁の底面から上方 $h$ の位置に水平に接続され，その右端は大気に開放されている。ただし，円管の管摩擦係数 $\lambda$ は不明である。図中に示すとおり，円管上の位置①（水槽側壁から $L$ だけ離れた位置）および位置②（水槽側壁から $2L$ だけ離れた位置）に細い液柱計がそれぞれ鉛直に接続され，両者の上端は大気に開放されている。円管の位置②と右端③との間に弁が設置されているが，その損失係数 $\zeta$ は不明である。この弁をある開度に設定したところ，水が円管の右端から大気中へ定常に噴出し，図中に示すとおり，水槽底面と同じ高さの水平面上で，円管右端③から水平方向に $x_w$ だけ離れた位置に到達した。また，円管の位置①および②における液柱計の水位が円管の中心軸から測ってそれぞれ $H_1$ および $H_2$ となった。このとき，円管の入口損失は無視できること，円管の出口で縮流は起きていないこと，弁の長さは管長に対して無視できること，液柱計の接続部での分岐損失は無視できるほど小さいこと，水の噴流と大気との間の摩擦力は無視できることを仮定して，以下の問いに答えよ。ただし，$2H_2>H_1>H_2$ とする。なお，重力加速度を $g$ とする。（50点）

(1) 円管から噴出する水の体積流量 $Q$ を，$x_w,h,g$ および $D$ を用いて表せ。

(2) 円管の管摩擦係数 $\lambda$ を，$x_w,h,H_1,H_2,D$ および $L$ を用いて表せ。

(3) 水槽の水位 $H_0$ を，$x_w,h,H_1$ および $H_2$ を用いて表せ。

(4) 弁の損失係数 $\zeta$ を，$x_w,h,H_1$ および $H_2$ を用いて表せ。

题目描述

如图所示，一个与大气相通的水槽连接由直圆管、阀门和两根测压管组成的系统。水槽足够大，水位保持不变，但从槽底测得的水位 $H_0$ 未知。直圆管总长为 $3L$、内径为 $D$，在槽壁距底面高度 $h$ 处水平连接，右端与大气相通。管摩擦系数 $\lambda$ 未知。在距槽壁 $L$ 的位置①和距槽壁 $2L$ 的位置②，各竖直连接一根细测压管，两者上端均向大气开放。位置②与右端③之间装有阀门，其损失系数 $\zeta$ 未知。将阀门设为某一开度后，水从管右端定常喷入大气，并落到与槽底同高的水平面上，落点距管右端③的水平距离为 $x_w$。位置①、②测压管内水面距圆管中心轴的高度分别为 $H_1,H_2$。假设圆管入口损失可忽略，出口不发生收缩，阀门长度相对于管长可忽略，测压管连接处的分支损失小到可忽略，水射流与大气之间的摩擦力可忽略，回答下列问题。已知 $2H_2>H_1>H_2$，重力加速度为 $g$。（50分）

(1) 用 $x_w,h,g,D$ 表示从圆管喷出的水的体积流量 $Q$。

(2) 用 $x_w,h,H_1,H_2,D,L$ 表示管摩擦系数 $\lambda$。

(3) 用 $x_w,h,H_1,H_2$ 表示水槽水位 $H_0$。

(4) 用 $x_w,h,H_1,H_2$ 表示阀门损失系数 $\zeta$。

Kai

(1)

管内平均流速を $v$ とする。噴流の落下時間は $\sqrt{2h/g}$ なので

$$v=x_w\sqrt{\frac{g}{2h}},\qquad \boxed{Q=\frac{\pi D^2x_w}{4}\sqrt{\frac{g}{2h}}}.$$

以下、速度水頭を $K=v^2/(2g)=x_w^2/(4h)$ とおく。

(2)

①と②の高さと流速は等しく、圧力水頭差が長さ $L$ の摩擦損失に等しい。

$$H_1-H_2=\lambda\frac LD K.$$

よって

$$\boxed{\lambda=\frac{4hD(H_1-H_2)}{Lx_w^2}}.$$

(3)

水槽自由表面と①の間のベルヌーイ式は

$$H_0=h+H_1+K+\lambda\frac LD K.$$

したがって

$$\boxed{H_0=h+2H_1-H_2+\frac{x_w^2}{4h}}.$$

(4)

②と③の間には、長さ $L$ の管摩擦と弁損失がある。

$$H_2=\left(\lambda\frac LD+\zeta\right)K.$$

(2)を使うと

$$\boxed{\zeta=\frac{4h(2H_2-H_1)}{x_w^2}}.$$

与えられた不等式から $\lambda>0$、$\zeta>0$ である。