九州大学 工学府 機械系専攻 2019年度 流体工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

密度 $\rho$ の非圧縮性流体の一様な主流（流速 $U$）に平行に置かれた二次元対称翼を、主流に垂直な方向へ振動させると、翼に上流向きの推力が発生した。翼の下流断面 I で測定した時間平均の全圧分布は、翼の振動中心から主流に垂直に測った座標 $y$ に対して

$$p_t(y)= \begin{cases} p_\infty+2\rho U^2,& |y|\le a,\\ p_\infty+2\rho U^2(a/y)^4,&a<|y|\le\sqrt2a,\\ p_\infty+\rho U^2/2,&\sqrt2a<|y| \end{cases}$$

であった。$a>0$、$p_\infty$ は遠方の静圧である。断面 I の静圧は一様で $p_\infty$ に等しく、流速は主流方向成分のみを持つ。時間平均流れを定常とみなして、次を求めよ。（50点）

1. 断面 I の主流方向速度分布 $u(y)$。
2. 振動翼に作用する単位奥行き当たりの推力 $T$。
3. 振動翼により流体が得る単位奥行き当たりの動力 $P$。

题目描述

密度为 $\rho$、速度为 $U$ 的均匀不可压缩主流中，二维对称翼沿垂直主流的方向振动并产生向上游的推力。下游截面 I 的平均总压为上列分段函数，$a>0$，$y$ 从翼振动中心沿横向测量，$p_\infty$ 为远处静压。截面 I 的静压处处为 $p_\infty$，速度只有主流方向分量。把时间平均流动视为定常，求该截面的速度分布、翼所受每单位进深推力，以及翼使流体获得的每单位进深功率。

Kai

(1)

全圧と静圧の差は動圧なので、$u=\sqrt{2(p_t-p_\infty)/\rho}$ より

$$\boxed{u(y)= \begin{cases} 2U,&|y|\le a,\\ 2U(a/y)^2,&a<|y|\le\sqrt2a,\\ U,&|y|>\sqrt2a. \end{cases}}$$

(2)

下流の幅 $dy$ を通る流量は $u(y)\,dy$ である。同じ流管の上流幅を $dy_0$ とすると、連続の式から $U\,dy_0=u\,dy$。静圧力が相殺する流管について運動量収支を取れば、上流向き推力の大きさは

$$T=\rho\int_{-\infty}^{\infty}u(u-U)\,dy.$$

したがって

$$\begin{aligned} T&=2\rho U^2\left[ \int_0^a2\,dy+ \int_a^{\sqrt2a}\left(\frac{4a^4}{y^4}-\frac{2a^2}{y^2}\right)dy \right]\\ &=\boxed{\frac43(2+\sqrt2)\rho U^2a}. \end{aligned}$$

(3)

同じ質量流量の流体について運動エネルギーの増加を計算する。

$$P=\frac\rho2\int_{-\infty}^{\infty}u(u^2-U^2)\,dy.$$

よって

$$\begin{aligned} P&=\rho U^3\left[ \int_0^a6\,dy+ \int_a^{\sqrt2a}\left(\frac{8a^6}{y^6}-\frac{2a^2}{y^2}\right)dy \right]\\ &=\boxed{\frac45(7+\sqrt2)\rho U^3a}. \end{aligned}$$