九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 熱工学 問2 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 次の各問に答えよ。（55点）
図のように加熱区間をもつ円管内を流体が発達した層流で流れている。加熱区間（0 ≤ x 0\le x 0 ≤ x r 1 , r 2 r_1,r_2 r 1 , r 2 k k k q v q_v q v
1 r d d r ( k r d T d r ) + q v = 0 ( r 1 ≤ r ≤ r 2 ) (1) \frac1r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(kr\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}\right)+q_v=0
\qquad(r_1\le r\le r_2)\tag{1} r 1 d r d ( k r d r d T ) + q v = 0 ( r 1 ≤ r ≤ r 2 ) ( 1 )
一方，円管内では管内壁温度 T 1 T_1 T 1 T m T_m T m x x x
T − T 1 T m − T 1 = 6 11 [ 3 − 4 ( r r 1 ) 2 + ( r r 1 ) 4 ] ( 0 ≤ r ≤ r 1 ) (2) \begin{gathered}\frac{T-T_1}{T_m-T_1}=\frac6{11}\left[3-4\left(\frac r{r_1}\right)^2+\left(\frac r{r_1}\right)^4\right]
\\(0\le r\le r_1)\end{gathered}\tag{2} T m − T 1 T − T 1 = 11 6 [ 3 − 4 ( r 1 r ) 2 + ( r 1 r ) 4 ] ( 0 ≤ r ≤ r 1 ) ( 2 ) また，この場合の管内流体と環状ヒータ内壁との間の熱伝達においてヌセルト数 N u ( = h d / k l ) Nu\,(=hd/k_l) N u ( = h d / k l ) h h h d d d = 2 r 1 =2r_1 = 2 r 1 h h h T 1 T_1 T 1 T m T_m T m c p , k l , m ˙ c_p,k_l,\dot m c p , k l , m ˙
(a) r 1 r_1 r 1 q 1 q_1 q 1 r 1 , r 2 , q v r_1,r_2,q_v r 1 , r 2 , q v
(b) 熱伝導方程式(1)を（k k k r 1 r_1 r 1 r 2 r_2 r 2 T 2 − T 1 T_2-T_1 T 2 − T 1 r 1 , r 2 , q v , k r_1,r_2,q_v,k r 1 , r 2 , q v , k
(c) 流体は入口温度 T i n T_{in} T in T m ( x ) T_m(x) T m ( x ) r 1 , r 2 , q v , c p , m ˙ , x , T i n r_1,r_2,q_v,c_p,\dot m,x,T_{in} r 1 , r 2 , q v , c p , m ˙ , x , T in
(d) 円管内の温度分布の式(2)から，管内壁における流体側の温度勾配を計算することによりヌセルト数を求めよ。
题目描述
回答下列问题。（55分）
如图，流体以充分发展的层流流经设有加热区的圆管，在加热区 0 ≤ x 0\le x 0 ≤ x r 1 , r 2 r_1,r_2 r 1 , r 2 k k k q v q_v q v
1 r d d r ( k r d T d r ) + q v = 0 , r 1 ≤ r ≤ r 2 . (1) \frac1r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(kr\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}\right)+q_v=0,
\qquad r_1\le r\le r_2.\tag{1} r 1 d r d ( k r d r d T ) + q v = 0 , r 1 ≤ r ≤ r 2 . ( 1 ) 管内壁温度 T 1 T_1 T 1 T m T_m T m x x x
T − T 1 T m − T 1 = 6 11 [ 3 − 4 ( r r 1 ) 2 + ( r r 1 ) 4 ] , 0 ≤ r ≤ r 1 . (2) \begin{gathered}\frac{T-T_1}{T_m-T_1}=\frac6{11}\left[3-4\left(\frac r{r_1}\right)^2+\left(\frac r{r_1}\right)^4\right],
\\0\le r\le r_1.\end{gathered}\tag{2} T m − T 1 T − T 1 = 11 6 [ 3 − 4 ( r 1 r ) 2 + ( r 1 r ) 4 ] , 0 ≤ r ≤ r 1 . ( 2 ) 此时管内流体与环形加热器内壁之间换热的努塞尔数 N u = h d / k l Nu=hd/k_l N u = h d / k l h h h d = 2 r 1 d=2r_1 d = 2 r 1 h h h T 1 T_1 T 1 T m T_m T m c p , k l , m ˙ c_p,k_l,\dot m c p , k l , m ˙
(a) 求 r 1 r_1 r 1 q 1 q_1 q 1 r 1 , r 2 , q v r_1,r_2,q_v r 1 , r 2 , q v
(b) 将 k k k r 1 , r 2 , q v , k r_1,r_2,q_v,k r 1 , r 2 , q v , k r 1 , r 2 r_1,r_2 r 1 , r 2 T 2 − T 1 T_2-T_1 T 2 − T 1
(c) 流体以入口温度 T i n T_{in} T in T m ( x ) T_m(x) T m ( x ) r 1 , r 2 , q v , c p , m ˙ , x , T i n r_1,r_2,q_v,c_p,\dot m,x,T_{in} r 1 , r 2 , q v , c p , m ˙ , x , T in
(d) 根据温度分布式(2)，计算管内壁处流体侧的温度梯度，进而求努塞尔数。
Kai (a)
単位長さ当たりの発熱は π q v ( r 2 2 − r 1 2 ) \pi q_v(r_2^2-r_1^2) π q v ( r 2 2 − r 1 2 )
q 1 = q v ( r 2 2 − r 1 2 ) 2 r 1 . \boxed{q_1=\frac{q_v(r_2^2-r_1^2)}{2r_1}.} q 1 = 2 r 1 q v ( r 2 2 − r 1 2 ) . r r r
(b)
外壁の断熱条件 T ′ ( r 2 ) = 0 T'(r_2)=0 T ′ ( r 2 ) = 0
T ′ ( r ) = q v 2 k ( r 2 2 r − r ) . T'(r)=\frac{q_v}{2k}\left(\frac{r_2^2}{r}-r\right). T ′ ( r ) = 2 k q v ( r r 2 2 − r ) . 再び r 1 r_1 r 1 r 2 r_2 r 2
T 2 − T 1 = q v r 2 2 2 k ln r 2 r 1 − q v 4 k ( r 2 2 − r 1 2 ) . \boxed{T_2-T_1=
\frac{q_vr_2^2}{2k}\ln\frac{r_2}{r_1}
-\frac{q_v}{4k}(r_2^2-r_1^2).} T 2 − T 1 = 2 k q v r 2 2 ln r 1 r 2 − 4 k q v ( r 2 2 − r 1 2 ) . (c)
長さ d x dx d x
m ˙ c p d T m d x = π q v ( r 2 2 − r 1 2 ) . \dot m c_p\frac{dT_m}{dx}=\pi q_v(r_2^2-r_1^2). m ˙ c p d x d T m = π q v ( r 2 2 − r 1 2 ) . T m ( 0 ) = T i n T_m(0)=T_{\mathrm{in}} T m ( 0 ) = T in
T m ( x ) = T i n + π q v ( r 2 2 − r 1 2 ) m ˙ c p x . \boxed{T_m(x)=T_{\mathrm{in}}+
\frac{\pi q_v(r_2^2-r_1^2)}{\dot m c_p}x.} T m ( x ) = T in + m ˙ c p π q v ( r 2 2 − r 1 2 ) x . (d)
(2) を r r r
∂ T ∂ r ∣ r = r 1 = 24 11 r 1 ( T 1 − T m ) . \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=r_1}
=\frac{24}{11r_1}(T_1-T_m). ∂ r ∂ T r = r 1 = 11 r 1 24 ( T 1 − T m ) . 流体に向かう熱流束は q 1 = k l ( ∂ T / ∂ r ) r 1 = h ( T 1 − T m ) q_1=k_l(\partial T/\partial r)_{r_1}=h(T_1-T_m) q 1 = k l ( ∂ T / ∂ r ) r 1 = h ( T 1 − T m )
h = 24 k l 11 r 1 , N u = h ( 2 r 1 ) k l = 48 11 ≃ 4.36. \boxed{\begin{gathered}
h=\frac{24k_l}{11r_1},\\
\mathrm{Nu}=\frac{h(2r_1)}{k_l}=\frac{48}{11}\simeq4.36.
\end{gathered}} h = 11 r 1 24 k l , Nu = k l h ( 2 r 1 ) = 11 48 ≃ 4.36. 