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九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 熱工学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図のガスタービンは開いた系の流動式熱機関であり、理論サイクルは断熱圧縮 1→21\to2、等圧加熱 2→32\to3、断熱膨張 3→43\to4、等圧冷却 4→14\to1 からなる Brayton サイクルである。状態を添字で表し、作動流体を理想気体、定圧比熱 cpc_p と比熱比 κ\kappa を一定とする。（55 点）

ガスタービンと h–s 線図の解答欄（公式原図）

  1. hh–ss（比エンタルピー–比エントロピー）線図を描け。T1T_1、圧力比 γ=p2/p1\gamma=p_2/p_1、サイクル最高低温度比 τ=T3/T1\tau=T_3/T_1、cp,κc_p,\kappa を用いて単位質量流量当たりの圧縮機仕事 lC0l_{C0}、タービン仕事 lT0l_{T0}、加熱量 q0q_0 を求めよ。
  2. 理論熱効率 η0\eta_0 は圧力比 γ\gamma のみに依存することを示せ。
  3. 実際には流れの摩擦損失がある。圧縮機とタービンの断熱効率を ηC,ηT\eta_C,\eta_T（ともに 1 以下）として、新しい状態にダッシュを付け、(1) の線図に変化を書き込め。このときの lC,lT,ql_C,l_T,q を T1,γ,τ,cp,κ,ηC,ηTT_1,\gamma,\tau,c_p,\kappa,\eta_C,\eta_T で表せ。
  4. 実際の熱効率 η\eta が τ\tau にも依存することを示せ。ηC=ηT=0.9\eta_C=\eta_T=0.9 で τ\tau を 5 から 6 に変えると、η\eta は何 % 上昇するか。γ(κ−1)/κ=2.5\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}=2.5（γ=25,κ=1.4\gamma=25,\kappa=1.4 に相当）とする。

题目描述​

理想气体 Brayton 循环由等熵压缩、等压加热、等熵膨胀、等压冷却构成，cp,κc_p,\kappa 恒定，压比 γ=p2/p1\gamma=p_2/p_1，最高与最低温度比 τ=T3/T1\tau=T_3/T_1。画 hh–ss 图，求理想压缩功、涡轮功、加热量及效率。再考虑压缩机和涡轮绝热效率 ηC,ηT\eta_C,\eta_T，画实际过程并求相应功、热量、效率。当两效率均为 0.9、γ(κ−1)/κ=2.5\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}=2.5 时，计算 τ\tau 从 5 增至 6 所带来的效率增长。

Kai​

圧縮機の入力仕事、タービンの出力仕事をそれぞれ正とする。χ=γ(κ−1)/κ\chi=\gamma^{(\kappa-1)/\kappa} とおく。

(1)​

理想断熱過程は等エントロピーなので

T2=χT1,T3=τT1,T4=τT1χ.T_2=\chi T_1,\qquad T_3=\tau T_1,\qquad T_4=\frac{\tau T_1}{\chi}.

定常流のエネルギー式より

lC0=cpT1(χ−1),lT0=cpT1τ(1−1χ),q0=cpT1(τ−χ).\boxed{l_{C0}=c_pT_1(\chi-1),\qquad l_{T0}=c_pT_1\tau\left(1-\frac1\chi\right),\qquad q_0=c_pT_1(\tau-\chi).}

線図では 1→21\to2 と 3→43\to4 が鉛直線、2→32\to3 と 4→14\to1 が等圧線となる。

理想・実際の Brayton サイクルの h–s 線図

(2)​

η0=lT0−lC0q0=1−1χ=1−γ−(κ−1)/κ.\boxed{\eta_0=\frac{l_{T0}-l_{C0}}{q_0} =1-\frac1\chi=1-\gamma^{-(\kappa-1)/\kappa}.}

κ\kappa が一定なら γ\gamma のみで決まる。

(3)​

断熱効率の定義は

ηC=T2−T1T2′−T1,ηT=T3−T4′T3−T4.\eta_C=\frac{T_2-T_1}{T_{2'}-T_1},\qquad \eta_T=\frac{T_3-T_{4'}}{T_3-T_4}.

したがって

T2′=T1[1+χ−1ηC],T4′=τT1[1−ηT(1−1χ)].T_{2'}=T_1\left[1+\frac{\chi-1}{\eta_C}\right],\qquad T_{4'}=\tau T_1\left[1-\eta_T\left(1-\frac1\chi\right)\right].

線図では 2′2' は 2 と同じ高圧等圧線上で 2 より右上、4′4' は 4 と同じ低圧等圧線上で 4 より右上に位置する。よって

lC=cpT1χ−1ηC,lT=cpT1τηT(1−1χ),\boxed{l_C=c_pT_1\frac{\chi-1}{\eta_C},\qquad l_T=c_pT_1\tau\eta_T\left(1-\frac1\chi\right),}
q=cpT1[τ−1−χ−1ηC].\boxed{q=c_pT_1\left[\tau-1-\frac{\chi-1}{\eta_C}\right].}

(4)​

η(τ)=τηT(1−1/χ)−(χ−1)/ηCτ−1−(χ−1)/ηC.\boxed{\eta(\tau)= \frac{\tau\eta_T(1-1/\chi)-(\chi-1)/\eta_C} {\tau-1-(\chi-1)/\eta_C}.}

実際のサイクルでは一般に τ\tau に依存する。指定値を代入すると

η(5)=3170≃0.44286,η(6)=59125=0.472.\eta(5)=\frac{31}{70}\simeq0.44286,\qquad \eta(6)=\frac{59}{125}=0.472.

したがって熱効率は 44.29%44.29\% から 47.20%47.20\% へ、2.91 ポイント\boxed{2.91\text{ ポイント}} 上昇する。元の効率に対する相対上昇率で表せば

η(6)−η(5)η(5)×100≃6.58%.\boxed{\frac{\eta(6)-\eta(5)}{\eta(5)}\times100\simeq6.58\%.}
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