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九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 熱工学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の各問に答えよ。（55点）

ガスタービンの性能は，熱効率により評価される。ガスタービンは，図に示すように開いた系の流動式熱機関であり，その理論サイクルは，断熱圧縮（状態1→2），等圧加熱（状態2→3），断熱膨張（状態3→4）および等圧冷却（状態4→1）の各準静的過程により構成されるブレイトンサイクルである。以下に示す圧力 pp および温度 TT の添え字は各状態を表す。作動流体は理想気体とし，定圧比熱 cpc_p および比熱比 κ\kappa はそれぞれ一定のガスサイクルとして，以下の問いに答えよ。

原題のガスタービンの構成

(1) ブレイトンサイクルの hh–ss（比エンタルピー–比エントロピー）線図を描け。また，T1T_1，圧力比 γ (=p2/p1)\gamma\,(=p_2/p_1)，サイクル最高最低温度比 τ (=T3/T1)\tau\,(=T_3/T_1)，cpc_p および κ\kappa を用いて，単位質量流量当たりの圧縮機仕事 lC0l_{C0}，タービン仕事 lT0l_{T0} および加熱量 q0q_0 をそれぞれ求めよ。

原題の(1)・(3)のh–s線図解答欄

(2) ブレイトンサイクルでは，熱効率 η0\eta_0 は γ\gamma のみに依存することを示せ。

(3) 実際のガスタービンでは，必ず作動流体の流れの摩擦に伴う損失が発生する。圧縮機とタービンの断熱効率がそれぞれ ηC\eta_C と ηT\eta_T（ただし，ηC≤1,ηT≤1\eta_C\le1,\eta_T\le1）であるガスタービンサイクルでは，(1)で描いた hh–ss 線図がどのように変化するか，新たな状態に′（ダッシュ）を付けるなどして，図中に書き加えよ。また，T1,γ,τ,cp,κ,ηCT_1,\gamma,\tau,c_p,\kappa,\eta_C および ηT\eta_T のいずれかを用いて，このときの単位質量流量当たりの圧縮機仕事 lCl_C，タービン仕事 lTl_T および加熱量 qq をそれぞれ求めよ。

(4) 実際のガスタービンサイクルの熱効率 η\eta は，タービン入口温度（T3T_3）に依存することが知られている。圧縮機とタービンの断熱効率がそれぞれ ηC\eta_C と ηT\eta_T（ただし，ηC≤1,ηT≤1\eta_C\le1,\eta_T\le1）であるガスタービンサイクルの η\eta は τ\tau に依存することを示せ。また，ηC\eta_C と ηT\eta_T がそれぞれ0.9の場合，τ\tau を5から6に変化させたとき，η\eta は何%上昇するか求めよ。ただし，γ(κ−1)/κ=2.5\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}=2.5（γ=25,κ=1.4\gamma=25,\kappa=1.4 に相当）とする。

题目描述​

回答下列问题。（55分）

燃气轮机的性能用热效率评价。燃气轮机是图示开口系统中的流动式热机，其理论循环为布雷顿循环，由绝热压缩（状态1→2）、等压加热（2→3）、绝热膨胀（3→4）、等压冷却（4→1）各准静态过程组成。以下压力 pp 和温度 TT 的下标表示对应状态。工质为理想气体，定压比热 cpc_p 和比热比 κ\kappa 分别为常数。

(1) 画出布雷顿循环的 hh–ss（比焓—比熵）图。用 T1T_1、压力比 γ=p2/p1\gamma=p_2/p_1、循环最高与最低温度之比 τ=T3/T1\tau=T_3/T_1、cp,κc_p,\kappa，分别求单位质量流量的压缩机功 lC0l_{C0}、涡轮功 lT0l_{T0} 和加热量 q0q_0。

(2) 证明布雷顿循环的热效率 η0\eta_0 只依赖于 γ\gamma。

(3) 实际燃气轮机必然存在工质流动摩擦导致的损失。压缩机和涡轮的绝热效率分别为 ηC,ηT\eta_C,\eta_T，其中 ηC≤1,ηT≤1\eta_C\le1,\eta_T\le1。说明此时(1)的 hh–ss 图如何变化，通过给新状态加′等方式补画在图中。用 T1,γ,τ,cp,κ,ηC,ηTT_1,\gamma,\tau,c_p,\kappa,\eta_C,\eta_T 中必要的量，分别求单位质量流量的压缩机功 lCl_C、涡轮功 lTl_T 和加热量 qq。

(4) 已知实际燃气轮机循环的热效率 η\eta 依赖涡轮入口温度 T3T_3。对压缩机、涡轮绝热效率分别为 ηC,ηT\eta_C,\eta_T（均不超过1）的循环，证明 η\eta 依赖于 τ\tau。若两种绝热效率均为0.9，将 τ\tau 从5增至6，求 η\eta 上升百分之几。设 γ(κ−1)/κ=2.5\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}=2.5，对应 γ=25,κ=1.4\gamma=25,\kappa=1.4。

Kai​

圧縮機の入力仕事、タービンの出力仕事をそれぞれ正とする。χ=γ(κ−1)/κ\chi=\gamma^{(\kappa-1)/\kappa} とおく。

(1)​

理想断熱過程は等エントロピーなので

T2=χT1,T3=τT1,T4=τT1χ.T_2=\chi T_1,\qquad T_3=\tau T_1,\qquad T_4=\frac{\tau T_1}{\chi}.

定常流のエネルギー式より

lC0=cpT1(χ−1),lT0=cpT1τ(1−1χ),q0=cpT1(τ−χ).\boxed{\begin{gathered} l_{C0}=c_pT_1(\chi-1),\\ l_{T0}=c_pT_1\tau\left(1-\frac1\chi\right),\\ q_0=c_pT_1(\tau-\chi). \end{gathered}}

線図では 1→21\to2 と 3→43\to4 が鉛直線、2→32\to3 と 4→14\to1 が等圧線となる。

理想・実際の Brayton サイクルの h–s 線図

(2)​

η0=lT0−lC0q0=1−1χ=1−γ−(κ−1)/κ.\boxed{\eta_0=\frac{l_{T0}-l_{C0}}{q_0} =1-\frac1\chi=1-\gamma^{-(\kappa-1)/\kappa}.}

κ\kappa が一定なら γ\gamma のみで決まる。

(3)​

断熱効率の定義は

ηC=T2−T1T2′−T1,ηT=T3−T4′T3−T4.\eta_C=\frac{T_2-T_1}{T_{2'}-T_1},\qquad \eta_T=\frac{T_3-T_{4'}}{T_3-T_4}.

したがって

T2′=T1[1+χ−1ηC],T4′=τT1[1−ηT(1−1χ)].\begin{gathered} T_{2'}=T_1\left[1+\frac{\chi-1}{\eta_C}\right],\\ T_{4'}=\tau T_1\left[1-\eta_T\left(1-\frac1\chi\right)\right]. \end{gathered}

線図では 2′2' は 2 と同じ高圧等圧線上で 2 より右上、4′4' は 4 と同じ低圧等圧線上で 4 より右上に位置する。よって

lC=cpT1χ−1ηC,lT=cpT1τηT(1−1χ),\boxed{\begin{gathered} l_C=c_pT_1\frac{\chi-1}{\eta_C},\\ l_T=c_pT_1\tau\eta_T\left(1-\frac1\chi\right), \end{gathered}}
q=cpT1[τ−1−χ−1ηC].\boxed{q=c_pT_1\left[\tau-1-\frac{\chi-1}{\eta_C}\right].}

(4)​

η(τ)=τηT(1−1/χ)−(χ−1)/ηCτ−1−(χ−1)/ηC.\boxed{\eta(\tau)= \frac{\tau\eta_T(1-1/\chi)-(\chi-1)/\eta_C} {\tau-1-(\chi-1)/\eta_C}.}

実際のサイクルでは一般に τ\tau に依存する。指定値を代入すると

η(5)=3170≃0.44286,η(6)=59125=0.472.\begin{gathered} \eta(5)=\frac{31}{70}\simeq0.44286,\\ \eta(6)=\frac{59}{125}=0.472. \end{gathered}

したがって熱効率は 44.29%44.29\% から 47.20%47.20\% へ、2.91 ポイント\boxed{2.91\text{ ポイント}} 上昇する。元の効率に対する相対上昇率で表せば

η(6)−η(5)η(5)×100≃6.58%.\boxed{\frac{\eta(6)-\eta(5)}{\eta(5)}\times100\simeq6.58\%.}
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