九州大学工学府機械系専攻 2018年度数学問4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

関数 $A(\omega),B(\omega),\alpha(\omega),\beta(\omega)$ が、任意の正の実数 $\omega,t$ について下記の2つの式を満たすとする。

A(\omega)\sin\{\omega t-\alpha(\omega)\} =\int_0^\infty e^{-\eta\tau}\sin\{\omega(t-\tau)\}\,d\tau,

B(\omega)\sin\{\omega t-\beta(\omega)\} =\int_0^\infty e^{-\eta\tau}A(\omega)\sin\{\omega(t-\tau)-\alpha(\omega)\}\,d\tau.

ここで、 $\eta$ は正の定数である。以下の問いに答えよ。なお、任意の正の実数 $a,b$ および任意の実数 $c$ について下式が成立するという事実を用いてよい。（50点）

\int_0^\infty e^{-at}\sin(bt+c)dt=\frac{a\sin c+b\cos c}{a^2+b^2}.

两个依次进行的指数核卷积，将正弦信号变成有振幅与相位滞后的正弦信号。求第一次的振幅和相位正余弦，以及第二次的振幅与相位。

振幅を $A,B>0$ と取る通常の表示を用いる。位相は $2\pi$ の整数倍を除いて定まる。

積分を計算して $\sin\omega t$ 、 $\cos\omega t$ の係数を比較すると

\int_0^\infty e^{-\eta\tau}\sin\{\omega(t-\tau)\}\,d\tau =\frac{\eta\sin\omega t-\omega\cos\omega t}{\eta^2+\omega^2},

A\cos\alpha=\frac{\eta}{\eta^2+\omega^2},\qquad A\sin\alpha=\frac{\omega}{\eta^2+\omega^2}.

よって

\boxed{A=\frac1{\sqrt{\eta^2+\omega^2}},\quad \sin\alpha=\frac{\omega}{\sqrt{\eta^2+\omega^2}},\quad \cos\alpha=\frac{\eta}{\sqrt{\eta^2+\omega^2}}}.

$0<\alpha<\pi/2$ と選べば $\alpha=\arctan(\omega/\eta)$ 。

(1) の計算は位相をずらしても同様である。2回目の積分により、振幅はさらに $A$ 倍、位相遅れはさらに $\alpha$ 増える。従って

\boxed{B=A^2=\frac1{\eta^2+\omega^2},\qquad \beta=2\alpha\pmod{2\pi}}.