九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 数学 問2

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• 九州大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

行列

$$A=\begin{bmatrix} 5&a&0\\ 1&5-a&1\\ 0&a&5 \end{bmatrix}$$

について、以下の問いに答えよ。ただし、$a$ を実数とする。（50点）

(1) 行列 $A$ が対角化できないときの $a$ を求めよ。

(2) $a=1$ のとき、行列 $A$ が対角化できるとする。このときの行列 $A$ のすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。

(3) (2)のとき、$P^{\mathsf T}AP$ が対角行列となる直交行列 $P$ を求めよ。

(4) 楕円面 $S$ の方程式

$$\begin{aligned} 5x^2+4y^2+5z^2+2xy+2yz&\\ {}+\sqrt6x-2\sqrt6y+\sqrt6z&=0 \end{aligned}$$

を $a=1$ のときの行列 $A$ を用いて表せ。

(5) 楕円面 $S$ を行列 $P$ で変換した楕円面 $S'$ で囲まれる領域の中心座標と体積を求めよ。

题目描述

对于矩阵

$$A=\begin{bmatrix} 5&a&0\\ 1&5-a&1\\ 0&a&5 \end{bmatrix},$$

回答以下各问，其中 $a$ 为实数。（50分）

(1) 求使矩阵 $A$ 不能对角化的 $a$。

(2) 当 $a=1$ 时，设矩阵 $A$ 可以对角化，求此时 $A$ 的所有特征值和特征向量。

(3) 在(2)的情况下，求使 $P^{\mathsf T}AP$ 成为对角矩阵的正交矩阵 $P$。

(4) 用 $a=1$ 时的矩阵 $A$ 表示椭球面 $S$ 的方程

$$\begin{aligned} 5x^2+4y^2+5z^2+2xy+2yz&\\ {}+\sqrt6x-2\sqrt6y+\sqrt6z&=0. \end{aligned}$$

(5) 将椭球面 $S$ 经矩阵 $P$ 变换为椭球面 $S'$，求 $S'$ 所围区域的中心坐标和体积。

Kai

(1)

$t=\lambda-5$ とおくと

$$\begin{gathered} \det(\lambda I-A)=t(t^2+at-2a),\\ \lambda=5,\\ 5+\frac{-a\pm\sqrt{a^2+8a}}2. \end{gathered}$$

$a>0$ または $a<-8$ では異なる3実固有値を持つ。$-8<a<0$ では非実固有値を持つため、実数上では対角化できない。

$a=0$ では固有値は5のみで、$\dim\ker(A-5I)=2<3$。$a=-8$ では固有値9が重根で、$\dim\ker(A-9I)=1<2$。よって実数上での答えは

$$\boxed{-8\le a\le0}.$$

なお、複素数上での対角化を許す場合は、内部の $-8<a<0$ では3固有値が相異なるので、対角化できない値は $\boxed{a=-8,0}$ のみである。

(2)

$a=1$ では固有値は $3,5,6$。対応する正規化固有ベクトルを

$$\begin{gathered} v_1=\frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix},\\ v_2=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\\ v_3=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{gathered}$$

と取れる。各固有空間はそれぞれ $v_1,v_2,v_3$ の非零定数倍からなる。

(3)

$$\begin{gathered} \boxed{P=(v_1\ v_2\ v_3)=\frac1{\sqrt6} \begin{pmatrix}-1&\sqrt3&\sqrt2\\2&0&\sqrt2\\-1&-\sqrt3&\sqrt2\end{pmatrix}},\\ P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(3,5,6). \end{gathered}$$

$v_i^{\mathsf T}v_j=\delta_{ij}$ より $P^{\mathsf T}P=I$。

(4)

$X=(x,y,z)^{\mathsf T}$、$b=\sqrt6(1,-2,1)^{\mathsf T}$ とおくと

$$\boxed{X^{\mathsf T}AX+b^{\mathsf T}X=0}.$$

(5)

$X=PU$、$U=(u,v,w)^{\mathsf T}$ とする。$P^{\mathsf T}b=(-6,0,0)^{\mathsf T}$ より

$$\begin{gathered} 3u^2+5v^2+6w^2-6u=0\\ \Longleftrightarrow\\ (u-1)^2+\frac{v^2}{3/5}+\frac{w^2}{1/2}=1. \end{gathered}$$

したがって新座標での中心は $\boxed{(1,0,0)}$、半軸長は $1,\sqrt{3/5},1/\sqrt2$ であり、

$$\boxed{V=\frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac35}\frac1{\sqrt2} =\frac{2\sqrt{30}\pi}{15}}.$$