九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 数学 問1

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• 二阶线性常微分方程

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

以下に示す微分方程式の一般解を求めよ。（50点）

(1)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4\frac{dy(x)}{dx}+3y(x)=0.$$

(2)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4\frac{dy(x)}{dx}+3y(x)=x.$$

(3)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4\frac{dy(x)}{dx}+3y(x)=x\cos(x).$$

题目描述

求下列微分方程的通解。（50分）

(1)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4\frac{dy(x)}{dx}+3y(x)=0.$$

(2)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4\frac{dy(x)}{dx}+3y(x)=x.$$

(3)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4\frac{dy(x)}{dx}+3y(x)=x\cos(x).$$

Kai

(1)

特性方程式は $(\lambda-1)(\lambda-3)=0$ なので

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{3x}}.$$

(2)

特解を $y_p=ax+b$ とおくと $3ax+3b-4a=x$。よって $a=1/3$、$b=4/9$ であり、

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{3x}+\frac{x}{3}+\frac49}.$$

(3)

特解を $y_p=(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x$ とおいて係数を比較する。

$$\begin{gathered} 2a-4c=1,\\ 4a+2c=0,\\ 2b+2c-4a-4d=0,\\ 2d-2a-4c+4b=0. \end{gathered}$$

これより $(a,b,c,d)=(1/10,-1/25,-1/5,-11/50)$。したがって

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{3x} +\left(\frac{x}{10}-\frac1{25}\right)\cos x -\left(\frac{x}{5}+\frac{11}{50}\right)\sin x}.$$