九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 材料力学 問3

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• 九州大学
• 应变能
• 扭转
• 梁的挠度

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

半径 $a$ の半円形丸棒 AB は A で壁に溶接されている。B には長さ $a$ の剛体はり BC が直角に溶接され、C には長さ $a$ の剛体はり CD が直角に溶接されている。AB のヤング率は $E$、横弾性係数は $G$、断面二次モーメントは $I$、断面二次極モーメントは $I_p$ である。D に紙面の表から裏へ向かう荷重 $P$ を加える。棒の直径は長さに比べて十分小さい。

1. B における曲げモーメント $M_B$ とねじりモーメント $T_B$ を求めよ。
2. B から中心角 $\theta$ だけ離れた断面 F の曲げモーメント $M_F$ とねじりモーメント $T_F$ を求めよ。
3. B の変位 $\delta_B$ を求めよ。

题目描述

半径 $a$ 的半圆弹性杆 AB 在 A 固定，B 连接长度 $a$ 的刚臂 BC，C 再垂直连接长度 $a$ 的刚臂 CD。弹性杆的弯曲与扭转刚度分别为 $EI$、$GI_p$。D 受垂直纸面向里的力 $P$，杆直径远小于长度。求 B 及距 B 中心角为 $\theta$ 的 F 截面处的弯矩、扭矩，并求 B 的位移。

Kai

(1)

D の荷重を B に移すと、せん断力 $P$ に加えて、互いに直交する二つの偶力が生じる。いずれの腕の長さも $a$ なので、モーメントの大きさは

$$\boxed{M_B=Pa,\qquad T_B=Pa}.$$

(2)

F における半径方向を曲げモーメントの正方向、接線方向の反対をねじりモーメントの正方向と取る。この符号規約では

$$\begin{aligned} M_F&=M_B\cos\theta-T_B\sin\theta+Pa\sin\theta,\\ T_F&=T_B\cos\theta+M_B\sin\theta+Pa(1-\cos\theta). \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{M_F=Pa\cos\theta,\qquad T_F=Pa(1+\sin\theta)}\qquad(0\leq\theta\leq\pi).$$

$M_F$ は符号付きであり、$\theta>\pi/2$ では曲げの向きが反転する。

(3)

求めるのは荷重点 D ではなく B の変位である。B に紙面の裏向きの仮想荷重 $q$ を追加すると

$$M_F(q)=Pa\cos\theta+qa\sin\theta,$$

$$T_F(q)=Pa(1+\sin\theta)+qa(1-\cos\theta).$$

$ds=a\,d\theta$ より

$$U(q)=\frac a2\int_0^\pi \left[\frac{M_F(q)^2}{EI}+\frac{T_F(q)^2}{GI_p}\right]d\theta.$$

したがって B の裏向き変位は

$$\delta_B=\left.\frac{\partial U}{\partial q}\right|_{q=0} =Pa^3\left[ \frac1{EI}\int_0^\pi\sin\theta\cos\theta\,d\theta +\frac1{GI_p}\int_0^\pi(1+\sin\theta)(1-\cos\theta)\,d\theta \right].$$

第1積分はゼロ、第2積分は $\pi+2$ なので

$$\boxed{\delta_B=\frac{Pa^3}{GI_p}(\pi+2)}$$

となる。方向は紙面の表から裏である。ねじりエネルギーの分母には $EI_p$ ではなく $GI_p$ を用いる。