九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 材料力学 問2

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• 梁的挠度
• 变形协调
• 应变能

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図の構造 ABCD は A で剛体壁に固定されている。D は $x$ 方向には自由に移動できるが、$y$ 方向には移動できず、反力を支持する。C に $y$ 方向の荷重 $P$ を作用させる。AB $=a$、BC $=c$、CD $=b$、丸棒の直径は $d$、ヤング率は $E$ とし、$a,b,c\gg d$ とする。

1. 点 D の反力 $Q$ を求めよ。
2. 着力点 C の $y$ 方向変位を求めよ。
3. 点 D の $x$ 方向変位を求めよ。

题目描述

图示折杆 ABCD 在 A 固定，D 可沿 $x$ 方向移动，但不能沿 $y$ 方向移动。C 受沿 $+y$ 的力 $P$。AB、BC、CD 的长度分别为 $a,c,b$，圆杆直径为 $d$，杨氏模量为 $E$，且 $a,b,c\gg d$。求 D 的支反力、C 的 $y$ 方向位移和 D 的 $x$ 方向位移。

Kai

$A_0=\pi d^2/4$、$I=\pi d^4/64$ とする。図のように右向きを $+x$、下向きを $+y$ とし、D の上向き反力の大きさを $Q$ と定義する。まず軸伸びも残して計算し、最後に細長い棒での主要項を示す。

(1)

AB 上で A からの距離を $s$、CD 上で C からの距離を $r$ とする。曲げモーメントは、符号を統一して

$$M_{AB}=P(a-s)-Q(a+b-s),\quad M_{BC}=-Qb,\quad M_{CD}=-Q(b-r).$$

BC の軸力は $P-Q$ なので、ひずみエネルギーは

$$U=\frac1{2EI}\left[ \int_0^a\{P(a-s)-Q(a+b-s)\}^2\,ds +cQ^2b^2+\frac{Q^2b^3}{3}\right] +\frac{c(P-Q)^2}{2EA_0}.$$

D の鉛直変位がゼロという条件 $\partial U/\partial Q=0$ から、

$$N=\frac{a^3}{3}+\frac{a^2b}{2}+\frac{cI}{A_0},\qquad D_0=\frac{(a+b)^3}{3}+cb^2+\frac{cI}{A_0}$$

とおけば

$$\boxed{Q=P\frac{N}{D_0}}.$$

特に軸伸びを省略する細長い棒の近似では

$$\boxed{Q\simeq \frac{Pa^2(2a+3b)}{2\{(a+b)^3+3cb^2\}}}.$$

BC は一定曲げモーメント $-Qb$ によって回転するため、分母の $cb^2$ を落としてはならない。

(2)

Castigliano の定理より

$$\delta_{Cy}=\frac{\partial U}{\partial P} =\frac1{EI}\left[ \frac{Pa^3}{3}-Q\left(\frac{a^3}{3}+\frac{a^2b}{2}\right)\right] +\frac{c(P-Q)}{EA_0}.$$

(1) の反力を代入して

$$\boxed{\delta_{Cy}=\frac{P}{EI} \left(\frac{a^3}{3}+\frac{cI}{A_0}-\frac{N^2}{D_0}\right)}.$$

曲げだけの近似値は、上式の $I/A_0$ を含む項をゼロとして得られる。

(3)

D に仮想の水平荷重 $H$ を加える。曲げモーメントへの寄与は AB で $-cH$、BC 上の B からの距離 $y$ の断面で $-(c-y)H$ である。$H=0$ でエネルギーを微分すると

$$\begin{aligned} \delta_{Dx} &=\frac1{EI}\left[ -c\int_0^a\{P(a-s)-Q(a+b-s)\}\,ds +Qb\int_0^c(c-y)\,dy\right]\\ &=\boxed{\frac{c}{2EI}\left[-Pa^2+Q(a^2+2ab+bc)\right]}. \end{aligned}$$

ここで $Q$ には採用する近似に対応した (1) の値を用いる。