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九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 材料力学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図のように、構造 ABCD が点 A で剛体壁に固定されている。点 D は xx 方向の移動が自由であるが、yy 方向には移動できず反力を支持できる。点 C に yy 方向荷重 PP を作用させるとき、次の各問に答えよ。ただし、構造 ABCD は直径 dd の丸棒からなり、a,b,c≫da,b,c\gg d とする。（40点）

(1) 点 D の反力 QQ を求めよ。

(2) 着力点 C の yy 方向変位を求めよ。

(3) 点 D の xx 方向変位を求めよ。

図中、AB、CD、BC の長さはそれぞれ a,b,ca,b,c、丸棒のヤング率は EE である。+x+x は右向き、+y+y は下向きとする。

原題の折れ曲がり丸棒と移動支点

题目描述​

如图，结构 ABCD 在 A 点固定于刚性墙壁。D 点可自由沿 xx 方向移动，但不能沿 yy 方向移动，能够承受该方向的反力。在 C 点施加沿 yy 方向的载荷 PP 时，回答下列问题。结构 ABCD 由直径为 dd 的圆杆构成，且 a,b,c≫da,b,c\gg d。（40分）

(1) 求 D 点的反力 QQ。

(2) 求载荷作用点 C 的 yy 方向位移。

(3) 求 D 点的 xx 方向位移。

图中 AB、CD、BC 的长度依次为 a,b,ca,b,c，圆杆的杨氏模量为 EE。+x+x 向右，+y+y 向下。

Kai​

A0=πd2/4A_0=\pi d^2/4、I=πd4/64I=\pi d^4/64 とする。図のように右向きを +x+x、下向きを +y+y とし、D の上向き反力の大きさを QQ と定義する。まず軸伸びも残して計算し、最後に細長い棒での主要項を示す。

(1)​

AB 上で A からの距離を ss、CD 上で C からの距離を rr とする。曲げモーメントは、符号を統一して

MAB=P(a−s)−Q(a+b−s),MBC=−Qb,MCD=−Q(b−r).\begin{gathered} M_{AB}=P(a-s)-Q(a+b-s),\\ M_{BC}=-Qb,\\ M_{CD}=-Q(b-r). \end{gathered}

BC の軸力は P−QP-Q なので、ひずみエネルギーは

U=12EI[∫0a{P(a−s)−Q(a+b−s)}2 ds+cQ2b2+Q2b33]+c(P−Q)22EA0.\begin{gathered} U=\frac1{2EI}\left[\begin{gathered} \int_0^a\{P(a-s)-Q(a+b-s)\}^2\,ds\\ +cQ^2b^2+\frac{Q^2b^3}{3} \end{gathered}\right]\\ +\frac{c(P-Q)^2}{2EA_0}. \end{gathered}

D の鉛直変位がゼロという条件 ∂U/∂Q=0\partial U/\partial Q=0 から、

N=a33+a2b2+cIA0,D0=(a+b)33+cb2+cIA0\begin{gathered} N=\frac{a^3}{3}+\frac{a^2b}{2}+\frac{cI}{A_0},\\ D_0=\frac{(a+b)^3}{3}+cb^2+\frac{cI}{A_0} \end{gathered}

とおけば

Q=PND0.\boxed{Q=P\frac{N}{D_0}}.

特に軸伸びを省略する細長い棒の近似では

Q≃Pa2(2a+3b)2{(a+b)3+3cb2}.\boxed{Q\simeq \frac{Pa^2(2a+3b)}{2\{(a+b)^3+3cb^2\}}}.

BC は一定曲げモーメント −Qb-Qb によって回転するため、分母の cb2cb^2 を落としてはならない。

(2)​

Castigliano の定理より

δCy=∂U∂P=1EI[Pa33−Q(a33+a2b2)]+c(P−Q)EA0.\begin{gathered} \delta_{Cy}=\frac{\partial U}{\partial P}\\ =\frac1{EI}\left[ \frac{Pa^3}{3}-Q\left(\frac{a^3}{3}+\frac{a^2b}{2}\right)\right] +\frac{c(P-Q)}{EA_0}. \end{gathered}

(1) の反力を代入して

δCy=PEI(a33+cIA0−N2D0).\boxed{\delta_{Cy}=\frac{P}{EI} \left(\frac{a^3}{3}+\frac{cI}{A_0}-\frac{N^2}{D_0}\right)}.

曲げだけの近似値は、上式の I/A0I/A_0 を含む項をゼロとして得られる。

(3)​

D に仮想の水平荷重 HH を加える。曲げモーメントへの寄与は AB で −cH-cH、BC 上の B からの距離 yy の断面で −(c−y)H-(c-y)H である。H=0H=0 でエネルギーを微分すると

δDx=1EI[−c∫0a{P(a−s)−Q(a+b−s)} ds+Qb∫0c(c−y) dy]=c2EI[−Pa2+Q(a2+2ab+bc)].\begin{gathered} \delta_{Dx} =\frac1{EI}\left[\begin{gathered} -c\int_0^a\{P(a-s)-Q(a+b-s)\}\,ds\\ +Qb\int_0^c(c-y)\,dy \end{gathered}\right]\\ =\boxed{\frac{c}{2EI}\left[-Pa^2+Q(a^2+2ab+bc)\right]}. \end{gathered}

ここで QQ には採用する近似に対応した (1) の値を用いる。

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