九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 材料力学 問1 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図のように、ヤング率 E E E d d d ℓ \ell ℓ P P P
構造物 I-1 において
(1) 棒 AB、棒 BC、棒 AC に作用する力を求めよ。
(2) 点 A の鉛直方向変位と水平方向変位を求めよ。
(3) 点 B の鉛直方向変位と水平方向変位を求めよ。
構造物 I-2 において
(4) 点 A の鉛直方向変位と水平方向変位を求めよ。
図中、ℓ ≫ d \ell\gg d ℓ ≫ d
题目描述
如图，用杨氏模量为 E E E d d d ℓ \ell ℓ P P P
对于结构 I-1：
(1) 求杆 AB、BC、AC 中的力。
(2) 求 A 点的竖直位移和水平位移。
(3) 求 B 点的竖直位移和水平位移。
对于结构 I-2：
(4) 求 A 点的竖直位移和水平位移。
各杆、支承和载荷方向如相应图所示，且 ℓ ≫ d \ell\gg d ℓ ≫ d
Kai 断面積と断面二次モーメントを
A 0 = π d 2 4 , I = π d 4 64 A_0=\frac{\pi d^2}{4},\qquad I=\frac{\pi d^4}{64} A 0 = 4 π d 2 , I = 64 π d 4 とし、右向き・上向きをそれぞれ x , y x,y x , y 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
(1)
B の水平・鉛直方向のつり合いより、AB は引張力 P P P P P P 2 P sin 30 ∘ = P 2P\sin30^\circ=P 2 P sin 3 0 ∘ = P
N A B = P , N B C = − P , N A C = − P \boxed{\begin{gathered}
N_{AB}=P,\\
N_{BC}=-P,\\
N_{AC}=-P
\end{gathered}} N A B = P , N BC = − P , N A C = − P となる。ただし軸力の正を引張りとした。
(2)
対称性から AC は曲がらず、軸方向に縮むだけである。
u A x = 0 , u A y = − P ℓ E A 0 = − 4 P ℓ π E d 2 . \boxed{u_{Ax}=0,\qquad u_{Ay}=-\frac{P\ell}{EA_0}
=-\frac{4P\ell}{\pi Ed^2}}. u A x = 0 , u A y = − E A 0 P ℓ = − π E d 2 4 P ℓ . (3)
s = P ℓ / ( E A 0 ) s=P\ell/(EA_0) s = P ℓ / ( E A 0 ) s s s − s -s − s
− 3 2 u B x − 1 2 ( u B y + s ) = s , − 3 2 u B x + 1 2 u B y = − s . \begin{gathered}
-\frac{\sqrt3}{2}u_{Bx}-\frac12(u_{By}+s)=s,\\
-\frac{\sqrt3}{2}u_{Bx}+\frac12u_{By}=-s.
\end{gathered} − 2 3 u B x − 2 1 ( u B y + s ) = s , − 2 3 u B x + 2 1 u B y = − s . これを解くと
u B x = − s 2 3 = − 2 P ℓ 3 π E d 2 , u B y = − 5 s 2 = − 10 P ℓ π E d 2 . \boxed{\begin{gathered}
u_{Bx}=-\frac{s}{2\sqrt3}
=-\frac{2P\ell}{\sqrt3\pi Ed^2},\\
u_{By}=-\frac{5s}{2}
=-\frac{10P\ell}{\pi Ed^2}
\end{gathered}}. u B x = − 2 3 s = − 3 π E d 2 2 P ℓ , u B y = − 2 5 s = − π E d 2 10 P ℓ . すなわち B は左向き・下向きに変位する。
(4)
B のつり合いは変わらないので、AB の引張力は P P P 3 P / 2 \sqrt3P/2 3 P /2 P / 2 P/2 P /2
u A y = − P ℓ 2 E A 0 = − 2 P ℓ π E d 2 , \boxed{u_{Ay}=-\frac{P\ell}{2EA_0}
=-\frac{2P\ell}{\pi Ed^2}}, u A y = − 2 E A 0 P ℓ = − π E d 2 2 P ℓ , u A x = − ( 3 P / 2 ) ℓ 3 3 E I = − 3 P ℓ 3 6 E I = − 32 3 P ℓ 3 3 π E d 4 . \boxed{\begin{gathered}
u_{Ax}=-\frac{(\sqrt3P/2)\ell^3}{3EI}\\
=-\frac{\sqrt3P\ell^3}{6EI}\\
=-\frac{32\sqrt3P\ell^3}{3\pi Ed^4}
\end{gathered}}. u A x = − 3 E I ( 3 P /2 ) ℓ 3 = − 6 E I 3 P ℓ 3 = − 3 π E d 4 32 3 P ℓ 3 . 構造物 I-2 の AC には曲げも生じるため、これを軸力だけを伝える部材とは扱わない。
