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九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 材料力学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

ヤング率 EE、直径 dd、長さ ℓ\ell の棒で図の二つの構造物を作製した。丸印はピン結合を意味し、棒 AC は点 C で床に直角に完全に固定されている。ℓ≫d\ell\gg d とする。構造物 I-1 の B、D に、構造物 I-2 の B に、それぞれ鉛直下向きの荷重 PP を加える。

公式原題の構造図

構造物 I-1 について、次を求めよ。

  1. 棒 AB、BC、AC に作用する力。
  2. 点 A の鉛直方向変位と水平方向変位。
  3. 点 B の鉛直方向変位と水平方向変位。

構造物 I-2 について、次を求めよ。

  1. 点 A の鉛直方向変位と水平方向変位。

题目描述​

用杨氏模量 EE、直径 dd、长度均为 ℓ\ell 的杆组成图示结构；圆点为铰，AC 在 C 点与地面垂直固接，且 ℓ≫d\ell\gg d。结构 I-1 的 B、D 均受向下载荷 PP，结构 I-2 只有 B 受向下载荷 PP。求 I-1 中 AB、BC、AC 的内力及 A、B 的水平与竖直位移，并求 I-2 中 A 的两方向位移。

Kai​

断面積と断面二次モーメントを

A0=πd24,I=πd464A_0=\frac{\pi d^2}{4},\qquad I=\frac{\pi d^4}{64}

とし、右向き・上向きをそれぞれ x,yx,y の正方向に取る。ABC、ACD は正三角形なので、斜材は水平となす角が 30∘30^\circ である。

(1)​

B の水平・鉛直方向のつり合いより、AB は引張力 PP、BC は圧縮力 PP を受ける。A では左右の水平成分が打ち消し合い、斜材から下向きに 2Psin⁡30∘=P2P\sin30^\circ=P が作用する。したがって

NAB=P,NBC=−P,NAC=−P\boxed{N_{AB}=P,\qquad N_{BC}=-P,\qquad N_{AC}=-P}

となる。ただし軸力の正を引張りとした。

(2)​

対称性から AC は曲がらず、軸方向に縮むだけである。

uAx=0,uAy=−PℓEA0=−4PℓπEd2.\boxed{u_{Ax}=0,\qquad u_{Ay}=-\frac{P\ell}{EA_0} =-\frac{4P\ell}{\pi Ed^2}}.

(3)​

s=Pℓ/(EA0)s=P\ell/(EA_0) とおくと、AB の伸びは ss、BC の伸びは −s-s である。各部材の軸方向への変位差の射影から

−32uBx−12(uBy+s)=s,−32uBx+12uBy=−s.-\frac{\sqrt3}{2}u_{Bx}-\frac12(u_{By}+s)=s, \qquad -\frac{\sqrt3}{2}u_{Bx}+\frac12u_{By}=-s.

これを解くと

uBx=−s23=−2Pℓ3πEd2,uBy=−5s2=−10PℓπEd2.\boxed{u_{Bx}=-\frac{s}{2\sqrt3} =-\frac{2P\ell}{\sqrt3\pi Ed^2},\qquad u_{By}=-\frac{5s}{2} =-\frac{10P\ell}{\pi Ed^2}}.

すなわち B は左向き・下向きに変位する。

(4)​

B のつり合いは変わらないので、AB の引張力は PP である。AB が A に及ぼす力は左向きに 3P/2\sqrt3P/2、下向きに P/2P/2。AC を片持ちはりとして扱えば

uAy=−Pℓ2EA0=−2PℓπEd2,\boxed{u_{Ay}=-\frac{P\ell}{2EA_0} =-\frac{2P\ell}{\pi Ed^2}},
uAx=−(3P/2)ℓ33EI=−3Pℓ36EI=−323Pℓ33πEd4.\boxed{u_{Ax}=-\frac{(\sqrt3P/2)\ell^3}{3EI} =-\frac{\sqrt3P\ell^3}{6EI} =-\frac{32\sqrt3P\ell^3}{3\pi Ed^4}}.

構造物 I-2 の AC には曲げも生じるため、これを軸力だけを伝える部材とは扱わない。

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