九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 流体工学 問2 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図のように，密度 ρ \rho ρ M M M H 1 , H 3 H_1,H_3 H 1 , H 3 S S S H H H L L L d d d λ \lambda λ g g g
(1) 水槽A–B間の弁を全開にしたところ，水槽AからB，および水槽BからCへの流量が等しくなった。このときの基準面からの水槽Bの水位を H 2 H_2 H 2 Q Q Q P C P_C P C
(2) 問(1)の状態から，水槽A–B間の弁を全閉にしたところ，水槽Bの水位はゆっくりと下がっていった。時間を t t t H ( t ) H(t) H ( t ) S S S
(3) 問(2)の結果を積分することにより，H ( t ) H(t) H ( t ) t = 0 t=0 t = 0 H 2 H_2 H 2
(4) 問(2)の H ( t ) H(t) H ( t ) H ∞ H_\infty H ∞
题目描述
如图所示，盛有密度为 ρ \rho ρ M M M H 1 , H 3 H_1,H_3 H 1 , H 3 S S S H H H L L L d d d λ \lambda λ g g g
(1) 完全打开A–B之间的阀门后，A流向B和B流向C的流量相等。将此时水槽B相对于基准面的水位记作 H 2 H_2 H 2 Q Q Q P C P_C P C
(2) 从(1)的状态完全关闭A–B之间的阀门后，水槽B的水位缓慢下降。以 t t t H ( t ) H(t) H ( t ) S S S
(3) 对(2)的结果积分，求 H ( t ) H(t) H ( t ) t = 0 t=0 t = 0 H 2 H_2 H 2
(4) 对(2)中的 H ( t ) H(t) H ( t ) H ∞ H_\infty H ∞
Kai 管断面積、各管の損失係数を
A = π d 2 4 , K = 1 + λ L d A=\frac{\pi d^2}{4},\qquad K=1+\lambda\frac Ld A = 4 π d 2 , K = 1 + λ d L とおく。K K K M g / S Mg/S M g / S
(1)
A、B の自由表面間の水頭収支から
H 1 − H 2 − M ρ S = K 1 2 g ( Q A ) 2 . H_1-H_2-\frac{M}{\rho S}
=K\frac1{2g}\left(\frac QA\right)^2. H 1 − H 2 − ρS M = K 2 g 1 ( A Q ) 2 . よって
Q = A 2 g K ( H 1 − H 2 − M ρ S ) . \boxed{Q=A\sqrt{\frac{2g}{K}
\left(H_1-H_2-\frac{M}{\rho S}\right)}}. Q = A K 2 g ( H 1 − H 2 − ρS M ) . B–C 間にも同じ流量、同じ損失があるため
H 2 + M ρ S − H 3 − P C ρ g = H 1 − H 2 − M ρ S , H_2+\frac{M}{\rho S}-H_3-\frac{P_C}{\rho g}
=H_1-H_2-\frac{M}{\rho S}, H 2 + ρS M − H 3 − ρ g P C = H 1 − H 2 − ρS M , P C = 2 M g S + ρ g ( 2 H 2 − H 1 − H 3 ) . \boxed{P_C=\frac{2Mg}{S}+\rho g(2H_2-H_1-H_3)}. P C = S 2 M g + ρ g ( 2 H 2 − H 1 − H 3 ) . (2)
平衡水頭に対応する水位を
H ∗ = H 3 + P C ρ g − M ρ S H_*=H_3+\frac{P_C}{\rho g}-\frac{M}{\rho S} H ∗ = H 3 + ρ g P C − ρS M とする。B–C の損失式と B の体積収支は
H − H ∗ = K 2 g ( Q B C A ) 2 , S d H d t = − Q B C . \begin{gathered}
H-H_*=\frac{K}{2g}\left(\frac{Q_{BC}}A\right)^2,\\
S\frac{dH}{dt}=-Q_{BC}.
\end{gathered} H − H ∗ = 2 g K ( A Q BC ) 2 , S d t d H = − Q BC . 水位が低下する区間では
d H d t = − A S 2 g K H − H ∗ . \boxed{\frac{dH}{dt}=-\frac AS\sqrt{\frac{2g}{K}}\sqrt{H-H_*}}. d t d H = − S A K 2 g H − H ∗ . (3)
c = ( A / S ) 2 g / K c=(A/S)\sqrt{2g/K} c = ( A / S ) 2 g / K Δ = H 2 − H ∗ > 0 \Delta=H_2-H_*>0 Δ = H 2 − H ∗ > 0
2 H − H ∗ = 2 Δ − c t . 2\sqrt{H-H_*}=2\sqrt\Delta-ct. 2 H − H ∗ = 2 Δ − c t . したがって、平衡水位が容器内にある H ∗ ≥ 0 H_*\ge0 H ∗ ≥ 0
H ( t ) = { H ∗ + ( Δ − c 2 t ) 2 , 0 ≤ t ≤ t ∗ , H ∗ , t ≥ t ∗ , t ∗ = 2 Δ c . \boxed{\begin{gathered}
H(t)=
\begin{cases}
H_*+\left(\sqrt\Delta-\dfrac c2t\right)^2,
&0\le t\le t_*,\\
H_*,&t\ge t_*,
\end{cases}\\
t_*=\frac{2\sqrt\Delta}{c}.
\end{gathered}} H ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ H ∗ + ( Δ − 2 c t ) 2 , H ∗ , 0 ≤ t ≤ t ∗ , t ≥ t ∗ , t ∗ = c 2 Δ . 二乗した式は t ∗ t_* t ∗ H ∗ < 0 H_*<0 H ∗ < 0
(4)
流れが止まると B、C の水頭が等しいので、容器内で平衡する場合
H ∞ = H ∗ = H 3 + P C ρ g − M ρ S = 2 H 2 − H 1 + M ρ S . \boxed{\begin{gathered}
H_\infty=H_*\\
=H_3+\frac{P_C}{\rho g}-\frac{M}{\rho S}\\
=2H_2-H_1+\frac{M}{\rho S}
\end{gathered}}. H ∞ = H ∗ = H 3 + ρ g P C − ρS M = 2 H 2 − H 1 + ρS M . 