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九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 流体工学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

密度 ρ\rho の水を貯めた水槽 A、B、C を、各底面が同じ高さの基準面となるように置く。A は大気開放、B は質量 MM の物体が水面に載り、C は密閉されている。A、C の断面積は十分大きく、水位はそれぞれ H1,H3H_1,H_3 で一定。B の断面積は有限の SS で、水位 HH は変化できる。

A–B 間、B–C 間を、それぞれ長さ LL、内径 dd、管摩擦係数 λ\lambda の円管でつなぐ。A–B 間には長さを無視できる弁がある。管入口損失を無視し、管出口に縮流はない。B 内では管の入口・出口以外の流れの動圧は十分小さい。水槽壁と物体の間に漏水や摩擦はない。重力加速度を gg とする。（50点）

  1. 弁を全開にすると、A から B、B から C の流量が等しくなった。このときの B の水位を H2H_2 とする。体積流量 QQ と C 水面上のゲージ圧 PCP_C を求めよ。全開の弁損失は無視できる。
  2. この状態から弁を全閉にすると B の水位がゆっくり下がった。時間 tt の水位 H(t)H(t) に関する微分方程式を示せ。流れは準定常、C のゲージ圧は一定、SS は管断面積に比べて十分大きいとする。
  3. H(0)=H2H(0)=H_2 として微分方程式を積分し、H(t)H(t) を求めよ。
  4. 十分時間が経過した後の B の水位 H∞H_\infty を求めよ。

原題の図（九州大学 2018年度 流体工学 問2）

题目描述​

同一水平底面的 A、B、C 水槽装密度 ρ\rho 的水。A 开放，B 水面压质量 MM 的物体，C 密闭。A、C 足够大，液位固定为 H1,H3H_1,H_3；B 截面积为 SS，液位可变。相邻槽各用长 LL、内径 dd、摩擦系数 λ\lambda 的管连接，A–B 管有可忽略长度的阀。忽略入口损失，出口无缩流；B 内主体流速足够小，物体与槽壁无漏水及摩擦。全开阀时两管流量相等、B 液位 H2H_2，求流量 QQ 和 C 的表压 PCP_C。随后关闭阀，在 C 压力恒定、准定常流动且 SS 远大于管面积的条件下，建立 B 液位方程，求满足 H(0)=H2H(0)=H_2 的 H(t)H(t) 及最终水位。

Kai​

管断面積、各管の損失係数を

A=πd24,K=1+λLdA=\frac{\pi d^2}{4},\qquad K=1+\lambda\frac Ld

とおく。KK の1は管から水槽へ流入する際の出口損失である。B 水面のゲージ圧は Mg/SMg/S。

(1)​

A、B の自由表面間の水頭収支から

H1−H2−MρS=K12g(QA)2.H_1-H_2-\frac{M}{\rho S} =K\frac1{2g}\left(\frac QA\right)^2.

よって

Q=A2gK(H1−H2−MρS).\boxed{Q=A\sqrt{\frac{2g}{K} \left(H_1-H_2-\frac{M}{\rho S}\right)}}.

B–C 間にも同じ流量、同じ損失があるため

H2+MρS−H3−PCρg=H1−H2−MρS,H_2+\frac{M}{\rho S}-H_3-\frac{P_C}{\rho g} =H_1-H_2-\frac{M}{\rho S},
PC=2MgS+ρg(2H2−H1−H3).\boxed{P_C=\frac{2Mg}{S}+\rho g(2H_2-H_1-H_3)}.

(2)​

平衡水頭に対応する水位を

H∗=H3+PCρg−MρSH_*=H_3+\frac{P_C}{\rho g}-\frac{M}{\rho S}

とする。B–C の損失式と B の体積収支は

H−H∗=K2g(QBCA)2,SdHdt=−QBC.H-H_*=\frac{K}{2g}\left(\frac{Q_{BC}}A\right)^2, \qquad S\frac{dH}{dt}=-Q_{BC}.

水位が低下する区間では

dHdt=−AS2gKH−H∗.\boxed{\frac{dH}{dt}=-\frac AS\sqrt{\frac{2g}{K}}\sqrt{H-H_*}}.

(3)​

c=(A/S)2g/Kc=(A/S)\sqrt{2g/K}、Δ=H2−H∗>0\Delta=H_2-H_*>0 とおけば

2H−H∗=2Δ−ct.2\sqrt{H-H_*}=2\sqrt\Delta-ct.

したがって、平衡水位が容器内にある H∗≥0H_*\ge0 の場合、

H(t)={H∗+(Δ−c2t)2,0≤t≤t∗,H∗,t≥t∗,t∗=2Δc.\boxed{ H(t)= \begin{cases} H_*+\left(\sqrt\Delta-\dfrac c2t\right)^2, &0\le t\le t_*,\\ H_*,&t\ge t_*, \end{cases} \qquad t_*=\frac{2\sqrt\Delta}{c}. }

二乗した式は t∗t_* までの排水過程を表す。H∗<0H_*<0 なら水槽 B が空になる時点でこの水頭モデルの適用は終了する。

(4)​

流れが止まると B、C の水頭が等しいので、容器内で平衡する場合

H∞=H∗=H3+PCρg−MρS=2H2−H1+MρS.\boxed{H_\infty=H_*=H_3+\frac{P_C}{\rho g}-\frac{M}{\rho S} =2H_2-H_1+\frac{M}{\rho S}}.
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