九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 流体工学 問1

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• 控制体动量守恒
• 伯努利方程
• 局部水头损失

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

水平な内径 $D$ の直円管の後半部に低圧ファンを取り付け、静止した大気（密度 $\rho$）を管入口から定常に吸い込み、出口から大気中へ吐き出す。入口にベルマウスがある場合（図1-1）とない場合（図1-2）を考える。どちらもファン前後の断面①、②間の圧力上昇量を同じ $\Delta p$ に保つ。

入口流速は非一様だが、断面①、②および出口③では軸方向速度が一様である。管肉厚は内径に比べて十分薄く、ファンのハブ断面積は管断面積に比べて十分小さい。②から③までの損失、管内外の壁面摩擦、空気の圧縮性は無視できる。（50点）

1. ベルマウスの有無の両場合について、断面①のゲージ圧 $p_1$ を $\Delta p$ で表せ。
2. ベルマウスがある場合は流れが剝離せず、入口から①までの損失を無視できる。このときの体積流量 $Q$ を $\Delta p,\rho,D$ で表せ。
3. ベルマウスがある場合に、ファンを含む管全体を固定するために必要な軸方向の力 $F$ を $\Delta p,D$ で表せ。流れの方向を正とする。
4. ベルマウスがない場合は入口で縮流に伴う逆流が生じ、入口から①までに未知の損失がある。この場合の流量 $Q'$ と、ベルマウスがある場合の $Q$ の比を求めよ。

题目描述

内径 $D$ 的水平薄壁直管后部装低压风扇，从静止大气吸气并向大气排出。比较有钟形入口（bellmouth）和无钟形入口的两种情况，风扇前后①、②的压升均为 $\Delta p$。入口速度不均匀，但①、②和出口③处只有均匀轴向速度。忽略轮毂截面积、②至③的损失、管内外壁面摩擦和压缩性。① 求两种情况下①处表压。② 有钟形入口时不分离且入口损失可忽略，求流量 $Q$。③ 求固定整个管道和风扇的外力 $F$，以流向为正。④ 无钟形入口时存在未知入口损失和缩流回流，求流量比 $Q'/Q$。

Kai

管断面積を $A=\pi D^2/4$ とし、圧力は大気圧基準とする。

(1)

②と③は同じ流速で損失もないので $p_2=p_3=0$。したがって両場合とも

$$\boxed{p_1=-\Delta p}.$$

(2)

静止した遠方大気と①の間で

$$0=p_1+\frac12\rho v^2.$$

ゆえに

$$\boxed{Q=Av=\frac{\pi D^2}{4}\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}}.$$

(3)

遠方の静止大気から出口までを含む検査体積を取ると、空気が得る軸方向運動量は $\rho Qv$。空気から装置へはその反作用が上流向きに働くので、固定する外力は下流向きであり

$$\boxed{F=\rho Qv=\rho Av^2=2A\Delta p =\frac{\pi D^2}{2}\Delta p}.$$

(4)

ベルマウスのない直円管では、壁面摩擦と薄い管端面の力を無視すると、管壁が受ける軸方向力は0である。①、②間の流速は等しいため、ファンが流体に与える力は $A\Delta p$。これと流入・流出の運動量差を等置して

$$A\Delta p=\rho Q'v'=\rho A(v')^2.$$

したがって

$$Q'=A\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}},\qquad \boxed{\frac{Q'}{Q}=\frac1{\sqrt2}}.$$