九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 流体工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のとおり，水平に設置された内径 $D$ の直円管の後半部に低圧ファンが取り付けられており，このファンを作動させると，静止した大気（密度 $\rho$）が管の入口から定常的に吸い込まれ，円管の出口から大気中に吐き出される。管の入口には，ベルマウスが装着されているもの（図1-1）とベルマウスが装着されていないもの（図1-2）との二種類がある。この二種類ともに，ファン前後の断面①と断面②の間の圧力上昇量が同じ $\Delta p$ となるようにファンを作動させている。また，二種類ともに，空気の流れは管の入口部で非一様であるが，その下流の断面①と②，および円管の出口断面③において流れは一様となっている。このとき，管の肉厚は管の内径に比べて十分に薄いこと，ファンが設置されているハブ（中心軸部）の断面積も管の断面積に比べて十分に小さいこと，断面①，②および③において流れは管軸方向の速度成分のみをもつこと，断面②と断面③の間では流動損失を無視できること，管内外の壁面摩擦力は無視できること，および低速流れであることから空気の圧縮性は無視できることを仮定して，以下の問いに答えよ。（50点）

(1) ベルマウス装着が有る場合と無い場合の両者について，断面①における圧力 $p_1$（gauge）を，$\Delta p$ を用いて表せ。

(2) ベルマウスを装着している場合（図1-1），空気が管入口から滑らかに流入することから，管入口部の壁面で流れのはく離が生じておらず，管入口から断面①までにおいても流動損失が無視できる。ベルマウス装着がある場合に，管内を流れる空気の体積流量 $Q$ を，$\Delta p,\rho$ および $D$ を用いて表せ。

(3) ベルマウスを装着している場合（図1-1）において，ファンも含めて管全体を固定するために必要な管軸方向の力 $F$ を，$\Delta p$ および $D$ を用いて表せ。ただし，力 $F$ は流れ方向を正とする。

(4) ベルマウス装着がない場合（図1-2），管の入口部で縮流に伴う逆流が壁面近傍で発生することから，管入口から断面①までにおいて流動損失が無視できない上に，その損失係数も未知である。ベルマウス装着がない場合に管内を流れる空気の体積流量 $Q'$ とベルマウス装着がある場合の体積流量 $Q$ との比を求めよ。

题目描述

如图所示，在水平放置、内径为 $D$ 的直圆管后半段安装低压风扇。风扇运转时，原本静止的、密度为 $\rho$ 的大气从管入口定常地被吸入，再从圆管出口排回大气。管入口有两种：装有喇叭口的图1-1，以及没有喇叭口的图1-2。两种情况下均使风扇前后截面①、②之间的压升等于同一个 $\Delta p$。两种情况下，入口空气流动均不均匀，但其下游截面①、②及管出口截面③处的流动均匀。假设管壁厚度远小于内径，安装风扇的轮毂（中心轴部分）截面积远小于管截面积，截面①、②、③上流动只有轴向速度分量，截面②至③之间的流动损失可以忽略，管内外壁面摩擦力可以忽略，且因流速低而可忽略空气压缩性。回答下列问题。（50分）

(1) 对有喇叭口和无喇叭口两种情况，分别用 $\Delta p$ 表示截面①的压力 $p_1$（表压）。

(2) 装有喇叭口时（图1-1），空气从管入口平滑流入，入口壁面不发生分离，因此从管入口到截面①的流动损失也可忽略。用 $\Delta p,\rho,D$ 表示此时管内空气的体积流量 $Q$。

(3) 装有喇叭口时（图1-1），求固定包括风扇在内的整根管道所需的轴向力 $F$，用 $\Delta p,D$ 表示。$F$ 以流动方向为正。

(4) 无喇叭口时（图1-2），管入口发生收缩，在壁面附近产生逆流，因此入口至截面①之间的流动损失不可忽略，且损失系数未知。求无喇叭口时管内空气体积流量 $Q'$ 与有喇叭口时体积流量 $Q$ 之比。

Kai

管断面積を $A=\pi D^2/4$ とし、圧力は大気圧基準とする。

(1)

②と③は同じ流速で損失もないので $p_2=p_3=0$。したがって両場合とも

$$\boxed{p_1=-\Delta p}.$$

(2)

静止した遠方大気と①の間で

$$0=p_1+\frac12\rho v^2.$$

ゆえに

$$\boxed{Q=Av=\frac{\pi D^2}{4}\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}}.$$

(3)

遠方の静止大気から出口までを含む検査体積を取ると、空気が得る軸方向運動量は $\rho Qv$。空気から装置へはその反作用が上流向きに働くので、固定する外力は下流向きであり

$$\boxed{F=\rho Qv=\rho Av^2=2A\Delta p =\frac{\pi D^2}{2}\Delta p}.$$

(4)

ベルマウスのない直円管では、壁面摩擦と薄い管端面の力を無視すると、管壁が受ける軸方向力は0である。①、②間の流速は等しいため、ファンが流体に与える力は $A\Delta p$。これと流入・流出の運動量差を等置して

$$A\Delta p=\rho Q'v'=\rho A(v')^2.$$

したがって

$$Q'=A\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}},\qquad \boxed{\frac{Q'}{Q}=\frac1{\sqrt2}}.$$