九州大学 工学府 機械系専攻 2018年度 機械力学 問2

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• 简正模与耦合振子
• 受迫振动

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

質量 $3m$、長さ $2l$ の細い一様な剛体棒 1 が下端 P₁ で床に回転自由に支持され、質量 $9m$、長さ $2l$ の棒 2 が上端 P₂ で天井に回転自由に支持されている。両棒の中心間をばね定数 $k$ の水平ばねで結合する。棒 1 の上端と棒 2 の下端に、それぞれ右向きの外力 $F_1\cos\Omega t,F_2\cos\Omega t$ が作用する。

棒 1 の時計回り角を $\theta_1$、棒 2 の反時計回り角を $\theta_2$ とし、両角がゼロのときばねは自然長にある。角変位は微小、ばねは水平を保つとし、摩擦は無視する。重力加速度は $g$ である。（50 点）

1. 各支持端まわりの慣性モーメント $I_1,I_2$ を求めよ。
2. $\theta_1,\theta_2$ の運動方程式を求めよ。
3. $k=12mg/l$ のとき、(a) 1 次・2 次の固有角振動数と固有モード、(b) 2 次共振を生じさせない $F_2/F_1$ を求めよ。
4. $k=\alpha mg/l$（$\alpha>0$）、$F_1=F_2=0$ とする。解を $\boldsymbol\theta=\boldsymbol\Theta e^{\lambda t}$ とすると、$\alpha$ がある値より小さいと $\operatorname{Re}\lambda>0$ の根が現れる。安定性が変わる $\alpha$ を求めよ。

题目描述

长均为 $2l$ 的两根均匀杆，左杆质量 $3m$、下端铰支，右杆质量 $9m$、上端铰支；中心用水平弹簧连接，自然状态两杆竖直。端点分别受水平简谐力，左角顺时针为正、右角逆时针为正。求转动惯量及线性方程；刚度 $12mg/l$ 时求固有频率、模态和不激发第二模态的力比；刚度为 $\alpha mg/l$ 时求失稳临界值。

Kai

(1)

$$\boxed{I_1=\frac13(3m)(2l)^2=4ml^2,\qquad I_2=\frac13(9m)(2l)^2=12ml^2.}$$

(2)

中心の水平変位はそれぞれ $l\theta_1,l\theta_2$。ばねの伸びは $l(\theta_2-\theta_1)$ であり、重力は棒 1 には不安定化、棒 2 には復元のモーメントを与える。

$$\boxed{ \begin{pmatrix}4ml^2&0\\0&12ml^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot\theta_1\\\ddot\theta_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}kl^2-3mgl&-kl^2\\-kl^2&kl^2+9mgl\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\theta_1\\\theta_2\end{pmatrix} =2l\begin{pmatrix}F_1\\F_2\end{pmatrix}\cos\Omega t.}$$

(3)

(a)

$z=\omega^2l/g$ とすると、固有方程式は

$$(9-4z)(21-12z)-144=3(4z-1)(4z-15)=0.$$

したがって

$$\boxed{\omega_1=\frac12\sqrt{\frac gl},\quad \boldsymbol\phi_1\propto\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix},\qquad \omega_2=\frac{\sqrt{15}}2\sqrt{\frac gl},\quad \boldsymbol\phi_2\propto\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.}$$

(b)

2 次モードの一般化外力をゼロにすればよいので

$$\boldsymbol\phi_2^T\begin{pmatrix}F_1\\F_2\end{pmatrix} =2F_1-F_2=0, \qquad\boxed{F_2/F_1=2.}$$

(4)

剛性行列の行列式は

$$\det K=(mgl)^2\left[(\alpha-3)(\alpha+9)-\alpha^2\right] =(mgl)^2(6\alpha-27).$$

質量行列は正定値であり、$\alpha>9/2$ では剛性行列も正定値となる。$0<\alpha<9/2$ では一つの固有剛性が負となり、正の実数 $\lambda$ が現れる。よって

$$\boxed{\alpha_{\mathrm{cr}}=\frac92.}$$