九州大学 工学府 機械系専攻 2017年8月実施 機械力学 問2

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• 简正模与耦合振子
• 受迫振动

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

点 $\mathrm P_1$ において下端を回転自由の状態で床に支持された質量 $3m$、長さ $2l$ の細い一様な剛体棒 1 と、点 $\mathrm P_2$ において上端を回転自由の状態で天井に支持された質量 $9m$、長さ $2l$ の細い一様な剛体棒 2 があり、両剛体棒の中心間がばね定数 $k$ の水平なばねで互いに結合されている。剛体棒 1 の上端に $F_1\cos\Omega t$ の外力、剛体棒 2 の下端に $F_2\cos\Omega t$ の外力が水平方向に作用している。図のように、剛体棒 1 の回転角を $\theta_1$（時計回りを正）、剛体棒 2 の回転角を $\theta_2$（反時計回りを正）とし、ばねは $\theta_1=\theta_2=0$ のとき自然長にあるものとする。剛体棒の回転角 $\theta_1$ および $\theta_2$ は微小であり、ばねは常に水平を保つと考えてよい。重力加速度を $g$ として以下の問いに答えよ。摩擦は無視してよい。（50点）

(1) 剛体棒 1 の下端まわりの慣性モーメント $I_1$ および剛体棒 2 の上端まわりの慣性モーメント $I_2$ を求めよ。

(2) $\theta_1$ および $\theta_2$ の運動を表す運動方程式を求めよ。

(3) $k=12mg/l$ のとき、以下の問い (a) および (b) に答えよ。

• (a) 1 次および 2 次の固有角振動数 $\omega_1$ および $\omega_2$ を求めよ。さらに、1 次および 2 次の固有モードを求めよ。
• (b) 2 次の共振が生じないような $F_1$ と $F_2$ の比 $F_2/F_1$ を求めよ。

(4) $k=\alpha mg/l$ とおく（$\alpha>0$）。外力の作用しない $F_1=F_2=0$ のとき、解を

$$\begin{bmatrix}\theta_1\\\theta_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\Theta_1\\\Theta_2\end{bmatrix}e^{\lambda t}$$

とすれば、$\alpha$ がある値よりも小さくなると $\lambda$ の中に実部が正のものが現れ、静的平衡状態が不安定となる。このような安定性の変化が生じるときの $\alpha$ を求めよ。

题目描述

细长均匀刚性杆 1 的质量为 $3m$、长度为 $2l$，下端在 $\mathrm P_1$ 点可自由转动地支承于地板；杆 2 的质量为 $9m$、长度为 $2l$，上端在 $\mathrm P_2$ 点可自由转动地支承于天花板。两杆中心之间用弹簧常数为 $k$ 的水平弹簧连接。杆 1 上端受到水平外力 $F_1\cos\Omega t$，杆 2 下端受到水平外力 $F_2\cos\Omega t$。如图，杆 1 转角为 $\theta_1$，顺时针为正；杆 2 转角为 $\theta_2$，逆时针为正。$\theta_1=\theta_2=0$ 时弹簧为自然长度。两转角微小，可认为弹簧始终保持水平。重力加速度为 $g$，忽略摩擦，回答下列问题。（50分）

(1) 求杆 1 绕下端的转动惯量 $I_1$ 和杆 2 绕上端的转动惯量 $I_2$。

(2) 求描述 $\theta_1,\theta_2$ 运动的运动方程。

(3) 当 $k=12mg/l$ 时，回答 (a)、(b)。

• (a) 求一阶、二阶固有角频率 $\omega_1,\omega_2$，并求相应固有振型。
• (b) 求使二阶共振不发生的外力比 $F_2/F_1$。

(4) 令 $k=\alpha mg/l$，其中 $\alpha>0$。无外力，即 $F_1=F_2=0$ 时，设解为

$$\begin{bmatrix}\theta_1\\\theta_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\Theta_1\\\Theta_2\end{bmatrix}e^{\lambda t}.$$

当 $\alpha$ 小于某个值时，$\lambda$ 中出现实部为正的值，静平衡状态变为不稳定。求发生这种稳定性变化时的 $\alpha$。

Kai

(1)

$$\boxed{\begin{gathered} I_1=\frac13(3m)(2l)^2=4ml^2,\\ I_2=\frac13(9m)(2l)^2=12ml^2. \end{gathered}}$$

(2)

中心の水平変位はそれぞれ $l\theta_1,l\theta_2$。ばねの伸びは $l(\theta_2-\theta_1)$ であり、重力は棒 1 には不安定化、棒 2 には復元のモーメントを与える。

$$\boxed{\begin{gathered} \begin{pmatrix}4ml^2&0\\0&12ml^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot\theta_1\\\ddot\theta_2\end{pmatrix}\\ +\begin{pmatrix}kl^2-3mgl&-kl^2\\-kl^2&kl^2+9mgl\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\theta_1\\\theta_2\end{pmatrix}\\ =2l\begin{pmatrix}F_1\\F_2\end{pmatrix}\cos\Omega t. \end{gathered}}$$

(3)

(a)

$z=\omega^2l/g$ とすると、固有方程式は

$$\begin{gathered} (9-4z)(21-12z)-144=3(4z-1)(4z-15)\\ =0. \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{\begin{gathered} \omega_1=\frac12\sqrt{\frac gl},\\ \boldsymbol\phi_1\propto\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix},\\ \omega_2=\frac{\sqrt{15}}2\sqrt{\frac gl},\\ \boldsymbol\phi_2\propto\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}. \end{gathered}}$$

(b)

2 次モードの一般化外力をゼロにすればよいので

$$\begin{gathered} \boldsymbol\phi_2^T\begin{pmatrix}F_1\\F_2\end{pmatrix} =2F_1-F_2=0,\\ \boxed{F_2/F_1=2.} \end{gathered}$$

(4)

剛性行列の行列式は

$$\begin{gathered} \det K=(mgl)^2\left[(\alpha-3)(\alpha+9)-\alpha^2\right]\\ =(mgl)^2(6\alpha-27). \end{gathered}$$

質量行列は正定値であり、$\alpha>9/2$ では剛性行列も正定値となる。$0<\alpha<9/2$ では一つの固有剛性が負となり、正の実数 $\lambda$ が現れる。よって

$$\boxed{\alpha_{\mathrm{cr}}=\frac92.}$$