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九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 熱工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の状態変化を行うガスサイクルAがある。1→2は断熱圧縮過程，2→3は等積加熱過程，3→4は断熱膨張過程，4→5は等積放熱過程，5→1は等圧放熱過程で，全ての状態変化は可逆過程である。状態1，2，3，4における作動ガスの比体積を v1,v2,v3,v4v_1,v_2,v_3,v_4 とするとき，v1/v2=εCv_1/v_2=\varepsilon_C，v4/v3=εEv_4/v_3=\varepsilon_E，εC<εE\varepsilon_C<\varepsilon_E とする。状態1および状態3における作動ガスの温度は，それぞれ T1,T3T_1,T_3 である。作動ガスは温度によらず比熱が一定の理想気体とし，その定積比熱を cvc_v，比熱比を κ\kappa とする。以下の問いに答えよ。（60点）

(1) 状態2，状態4，状態5における作動ガスの温度 T2,T4,T5T_2,T_4,T_5 を，T1,T3,εC,εE,κT_1,T_3,\varepsilon_C,\varepsilon_E,\kappa を用いて表せ。

(2) 作動ガスの比エントロピーを ss とし，1→2，2→3，3→4，4→5，5→1の各過程における作動ガスの比エントロピー変化量 Δs12,Δs23,Δs34,Δs45,Δs51\Delta s_{12},\Delta s_{23},\Delta s_{34},\Delta s_{45},\Delta s_{51} を T1,T3,εC,εE,cv,κT_1,T_3,\varepsilon_C,\varepsilon_E,c_v,\kappa を用いて表せ。

(3) サイクルAの状態3からの断熱膨張過程を作動ガスの比体積が v1v_1 となる状態4Bで止め，その状態4Bから状態1に等積放熱過程により戻るサイクルBを考える。サイクルA，Bの TT–ss 線図を同じ線図上に描き，サイクルAとBの熱効率のうち，どちらの方が大きいかを示し，その理由を説明せよ。

(4) 状態1，状態2は，サイクルBと同一であるが，状態2から等圧加熱過程で状態3Cとなり，さらに状態3Cから断熱膨張過程で状態4Cとなり，状態4Cから等積放熱過程により状態1に戻るサイクルCがある。ただし，2→3Cでの加熱量は，サイクルBでの加熱量と同一である。このサイクルCの TT–ss 線図を問(3)と同じ線図上に描き，サイクルBとCの熱効率のうち，どちらの方が大きいかを示し，その理由を説明せよ。

原題のT–s線図解答座標

题目描述​

气体循环A由以下过程构成：1→2绝热压缩，2→3等容加热，3→4绝热膨胀，4→5等容放热，5→1等压放热；所有状态变化均可逆。状态1、2、3、4的比体积分别为 v1,v2,v3,v4v_1,v_2,v_3,v_4，满足 v1/v2=εCv_1/v_2=\varepsilon_C、v4/v3=εEv_4/v_3=\varepsilon_E、εC<εE\varepsilon_C<\varepsilon_E。状态1、3的温度分别为 T1,T3T_1,T_3。工质为比热不随温度变化的理想气体，定容比热为 cvc_v，比热比为 κ\kappa。回答下列问题。（60分）

(1) 用 T1,T3,εC,εE,κT_1,T_3,\varepsilon_C,\varepsilon_E,\kappa 表示状态2、4、5的温度 T2,T4,T5T_2,T_4,T_5。

(2) 以 ss 表示工质的比熵，用 T1,T3,εC,εE,cv,κT_1,T_3,\varepsilon_C,\varepsilon_E,c_v,\kappa 表示1→2、2→3、3→4、4→5、5→1各过程的比熵变化量 Δs12,Δs23,Δs34,Δs45,Δs51\Delta s_{12},\Delta s_{23},\Delta s_{34},\Delta s_{45},\Delta s_{51}。

(3) 将循环A从状态3开始的绝热膨胀在比体积达到 v1v_1 的状态4B停止，再由4B等容放热回到状态1，构成循环B。在同一张 TT–ss 图中画出A、B，指出哪一个循环热效率较高并解释原因。

(4) 循环C的状态1、2与B相同，但从状态2等压加热到状态3C，再从3C绝热膨胀到状态4C，最后由4C等容放热返回状态1。2→3C的加热量与循环B的加热量相同。在(3)的同一张 TT–ss 图中画出C，指出B、C中哪一个热效率较高并解释原因。

Kai​

(1)​

断熱過程では Tvκ−1Tv^{\kappa-1} が一定、5→15\to1 では T/vT/v が一定なので

T2=T1εCκ−1,T4=T3εE1−κ,T5=T1εEεC.\boxed{\begin{gathered} T_2=T_1\varepsilon_C^{\kappa-1},\\ T_4=T_3\varepsilon_E^{1-\kappa},\\ T_5=T_1\frac{\varepsilon_E}{\varepsilon_C}. \end{gathered}}

(2)​

可逆断熱では ds=0ds=0、等積では ds=cvdT/Tds=c_vdT/T、等圧では ds=κcvdT/Tds=\kappa c_vdT/T。したがって

Δs12=Δs34=0,\boxed{\Delta s_{12}=\Delta s_{34}=0,}
Δs23=cvln⁡T3T1εCκ−1,Δs45=cvln⁡T1εEκT3εC,\boxed{\begin{gathered} \Delta s_{23}=c_v\ln\frac{T_3}{T_1\varepsilon_C^{\kappa-1}},\\ \Delta s_{45}=c_v\ln\frac{T_1\varepsilon_E^\kappa}{T_3\varepsilon_C}, \end{gathered}}
Δs51=κcvln⁡εCεE.\boxed{\Delta s_{51}=\kappa c_v\ln\frac{\varepsilon_C}{\varepsilon_E}.}

全過程の和はゼロとなる。

(3)​

三つのサイクルの T–s 線図

A と B の加熱量はともに qin=cv(T3−T2)q_{\mathrm{in}}=c_v(T_3-T_2) である。B の膨張終点は T4B=T3εC1−κT_{4B}=T_3\varepsilon_C^{1-\kappa}。放熱量の差は

qout,B−qout,A=cv[T4B−T4−(κ−1)(T5−T1)].q_{\mathrm{out},B}-q_{\mathrm{out},A} =c_v\left[T_{4B}-T_4-(\kappa-1)(T_5-T_1)\right].

r=εE/εC>1r=\varepsilon_E/\varepsilon_C>1、t=T4B/T1t=T_{4B}/T_1 とおく。A の 4→54\to5 が放熱である条件 T4≥T5T_4\ge T_5 から t≥rκt\ge r^\kappa。よって

qout,B−qout,AcvT1=t(1−r1−κ)−(κ−1)(r−1)≥rκ−κr+κ−1>0.\begin{gathered} \frac{q_{\mathrm{out},B}-q_{\mathrm{out},A}}{c_vT_1}\\ =t(1-r^{1-\kappa})-(\kappa-1)(r-1)\\ \ge r^\kappa-\kappa r+\kappa-1>0. \end{gathered}

最後の不等式は rκr^\kappa の凸性による。等しい加熱量に対して A の放熱が小さいので ηA>ηB\boxed{\eta_A>\eta_B}。

(4)​

等加熱量の条件から

κcv(T3C−T2)=cv(T3−T2),T3C=T2+T3−T2κ.\begin{gathered} \kappa c_v(T_{3C}-T_2)=c_v(T_3-T_2),\\ T_{3C}=T_2+\frac{T_3-T_2}{\kappa}. \end{gathered}

a=T3/T2>1a=T_3/T_2>1、b=T3C/T2=1+(a−1)/κb=T_{3C}/T_2=1+(a-1)/\kappa とする。等圧加熱では v3C/v2=bv_{3C}/v_2=b だから

T4C=T2bκεCκ−1,T4B=T2aεCκ−1.T_{4C}=T_2\frac{b^\kappa}{\varepsilon_C^{\kappa-1}},\qquad T_{4B}=T_2\frac a{\varepsilon_C^{\kappa-1}}.

凸性により bκ>1+κ(b−1)=ab^\kappa>1+\kappa(b-1)=a なので T4C>T4BT_{4C}>T_{4B}。C の等積放熱量の方が大きく、同じ加熱量に対して ηB>ηC\boxed{\eta_B>\eta_C} となる。

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