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九州大学 工学府 機械系専攻 2017年度 熱工学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

理想気体の可逆ガスサイクル A は、断熱圧縮 1→21\to2、等積加熱 2→32\to3、断熱膨張 3→43\to4、等積放熱 4→54\to5、等圧放熱 5→15\to1 からなる。各状態の比体積を viv_i とし、v1/v2=εCv_1/v_2=\varepsilon_C、v4/v3=εEv_4/v_3=\varepsilon_E、εC<εE\varepsilon_C<\varepsilon_E とする。温度 T1,T3T_1,T_3、一定の定積比熱 cvc_v、比熱比 κ\kappa を用いて答えよ。（60 点）

  1. T2,T4,T5T_2,T_4,T_5 を求めよ。
  2. 各過程の比エントロピー変化 Δs12,Δs23,Δs34,Δs45,Δs51\Delta s_{12},\Delta s_{23},\Delta s_{34},\Delta s_{45},\Delta s_{51} を求めよ。
  3. A の断熱膨張を v=v1v=v_1 の状態 4B で止め、等積放熱で 1 に戻るサイクル B を考える。A、B の TT–ss 線図を同じ図に描き、熱効率を比較して理由を述べよ。
  4. 1、2 は B と同じだが、2→3C2\to3\mathrm C を等圧加熱、3C→4C3\mathrm C\to4\mathrm C を断熱膨張、4C→14\mathrm C\to1 を等積放熱とする C を考える。C の加熱量は B と同じである。同じ TT–ss 図に C を描き、B と C の効率を比較して理由を述べよ。

T–s 線図の解答座標（公式原図）

题目描述​

理想气体循环 A 包含等熵压缩、定容加热、等熵膨胀、定容放热、定压放热，压缩比 εC\varepsilon_C 小于膨胀比 εE\varepsilon_E。给定 T1,T3,cv,κT_1,T_3,c_v,\kappa，求其余温度及各段熵变。将膨胀提前结束在初始体积、再定容放热得到 B；将 B 的定容加热改为等热量定压加热得到 C。画三者的 TT–ss 图，比较 A 与 B、B 与 C 的效率。

Kai​

(1)​

断熱過程では Tvκ−1Tv^{\kappa-1} が一定、5→15\to1 では T/vT/v が一定なので

T2=T1εCκ−1,T4=T3εE1−κ,T5=T1εEεC.\boxed{T_2=T_1\varepsilon_C^{\kappa-1},\qquad T_4=T_3\varepsilon_E^{1-\kappa},\qquad T_5=T_1\frac{\varepsilon_E}{\varepsilon_C}.}

(2)​

可逆断熱では ds=0ds=0、等積では ds=cvdT/Tds=c_vdT/T、等圧では ds=κcvdT/Tds=\kappa c_vdT/T。したがって

Δs12=Δs34=0,\boxed{\Delta s_{12}=\Delta s_{34}=0,}
Δs23=cvln⁡T3T1εCκ−1,Δs45=cvln⁡T1εEκT3εC,\boxed{\Delta s_{23}=c_v\ln\frac{T_3}{T_1\varepsilon_C^{\kappa-1}},\qquad \Delta s_{45}=c_v\ln\frac{T_1\varepsilon_E^\kappa}{T_3\varepsilon_C},}
Δs51=κcvln⁡εCεE.\boxed{\Delta s_{51}=\kappa c_v\ln\frac{\varepsilon_C}{\varepsilon_E}.}

全過程の和はゼロとなる。

(3)​

三つのサイクルの T–s 線図

A と B の加熱量はともに qin=cv(T3−T2)q_{\mathrm{in}}=c_v(T_3-T_2) である。B の膨張終点は T4B=T3εC1−κT_{4B}=T_3\varepsilon_C^{1-\kappa}。放熱量の差は

qout,B−qout,A=cv[T4B−T4−(κ−1)(T5−T1)].q_{\mathrm{out},B}-q_{\mathrm{out},A} =c_v\left[T_{4B}-T_4-(\kappa-1)(T_5-T_1)\right].

r=εE/εC>1r=\varepsilon_E/\varepsilon_C>1、t=T4B/T1t=T_{4B}/T_1 とおく。A の 4→54\to5 が放熱である条件 T4≥T5T_4\ge T_5 から t≥rκt\ge r^\kappa。よって

qout,B−qout,AcvT1=t(1−r1−κ)−(κ−1)(r−1)≥rκ−κr+κ−1>0.\frac{q_{\mathrm{out},B}-q_{\mathrm{out},A}}{c_vT_1} =t(1-r^{1-\kappa})-(\kappa-1)(r-1) \ge r^\kappa-\kappa r+\kappa-1>0.

最後の不等式は rκr^\kappa の凸性による。等しい加熱量に対して A の放熱が小さいので ηA>ηB\boxed{\eta_A>\eta_B}。

(4)​

等加熱量の条件から

κcv(T3C−T2)=cv(T3−T2),T3C=T2+T3−T2κ.\kappa c_v(T_{3C}-T_2)=c_v(T_3-T_2),\qquad T_{3C}=T_2+\frac{T_3-T_2}{\kappa}.

a=T3/T2>1a=T_3/T_2>1、b=T3C/T2=1+(a−1)/κb=T_{3C}/T_2=1+(a-1)/\kappa とする。等圧加熱では v3C/v2=bv_{3C}/v_2=b だから

T4C=T2bκεCκ−1,T4B=T2aεCκ−1.T_{4C}=T_2\frac{b^\kappa}{\varepsilon_C^{\kappa-1}},\qquad T_{4B}=T_2\frac a{\varepsilon_C^{\kappa-1}}.

凸性により bκ>1+κ(b−1)=ab^\kappa>1+\kappa(b-1)=a なので T4C>T4BT_{4C}>T_{4B}。C の等積放熱量の方が大きく、同じ加熱量に対して ηB>ηC\boxed{\eta_B>\eta_C} となる。

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