九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 数学 問4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の図および関数により示される図形について、以下の問いに答えよ。（50点）

$$\begin{cases} x=(1+\cos\theta)\cos\theta,\\ y=(1+\cos\theta)\sin\theta. \end{cases}$$

(1) $r=f(\theta)$ で表される極方程式を求めよ。

(2) この図形が囲む面積を求めよ。

(3) この図形を $x$ 軸まわりに1回転して得られる回転体の体積を求めよ。

(4) この図形の周長を求めよ。

题目描述

对于上图及下列函数表示的图形，回答以下各问。（50分）

$$\begin{cases} x=(1+\cos\theta)\cos\theta,\\ y=(1+\cos\theta)\sin\theta. \end{cases}$$

(1) 求写成 $r=f(\theta)$ 形式的极坐标方程。

(2) 求该图形所围区域的面积。

(3) 求将该图形绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体的体积。

(4) 求该图形的周长。

Kai

(1)

$1+\cos\theta\ge0$ より、$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ と比較して

$$\boxed{r=1+\cos\theta}\qquad(0\le\theta\le2\pi).$$

(2)

$$\boxed{A=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\frac{3\pi}{2}}.$$

(3)

上半平面内の領域を $x$ 軸のまわりに回転させる。円筒座標で、体積要素は $2\pi y\,dx\,dy$ である。極座標 $y=\rho\sin\theta$ を用いれば

$$\begin{aligned} V&=2\pi\int_0^\pi\int_0^{1+\cos\theta}\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\\ &=\frac{2\pi}{3}\int_0^\pi(1+\cos\theta)^3\sin\theta\,d\theta =\boxed{\frac{8\pi}{3}}. \end{aligned}$$

(4)

$r'= -\sin\theta$ より

$$\begin{gathered} \sqrt{r^2+(r')^2}=\sqrt{2+2\cos\theta}\\ =2|\cos(\theta/2)|. \end{gathered}$$

従って $\boxed{L=\int_0^{2\pi}2|\cos(\theta/2)|\,d\theta=8}$。