九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 数学 問3

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• 九州大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

$xyz$ 空間の2次曲面を表す次の方程式について、以下の問いに答えよ。（50点）

$$\begin{aligned} 2x^2+2y^2+4z^2+2xy+2yz+2xz&\\ {}+4\sqrt3x+4\sqrt3y-4\sqrt3z+17&=0. \end{aligned}$$

(1) 与式を $\boldsymbol X^{\mathsf T}A\boldsymbol X+\boldsymbol B^{\mathsf T}\boldsymbol X+c=0$ と表したとき、行列 $A$ の固有値と正規化した固有ベクトルを求めよ。ただし $\boldsymbol X$ は $xyz$ 空間のベクトルを表す。

(2) $P^{\mathsf T}AP$ が対角行列になる行列 $P$ とその時の対角行列を求めよ。

(3) $xyz$ 空間は $uvw$ 空間を行列 $P$ によって変換されたものとすると、$uvw$ 空間の2次曲面を求めよ。

题目描述

对于表示 $xyz$ 空间中二次曲面的下列方程，回答以下各问。（50分）

$$\begin{aligned} 2x^2+2y^2+4z^2+2xy+2yz+2xz&\\ {}+4\sqrt3x+4\sqrt3y-4\sqrt3z+17&=0. \end{aligned}$$

(1) 将该方程写为 $\boldsymbol X^{\mathsf T}A\boldsymbol X+\boldsymbol B^{\mathsf T}\boldsymbol X+c=0$ 时，求矩阵 $A$ 的特征值和归一化特征向量。其中 $\boldsymbol X$ 表示 $xyz$ 空间中的向量。

(2) 求使 $P^{\mathsf T}AP$ 成为对角矩阵的矩阵 $P$，以及相应的对角矩阵。

(3) 设 $xyz$ 空间由 $uvw$ 空间经矩阵 $P$ 变换得到，求 $uvw$ 空间中的二次曲面。

Kai

(1)

$$\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&4\end{pmatrix},\\ B=4\sqrt3\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\\ c=17. \end{gathered}$$

$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-5)$。対応する単位固有ベクトルは

$$\boxed{\begin{gathered} v_1=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^{\mathsf T},\\ v_2=\frac1{\sqrt3}(1,1,-1)^{\mathsf T},\\ v_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,2)^{\mathsf T} \end{gathered}}.$$

(2)

$$\begin{gathered} \boxed{P=(v_1\ v_2\ v_3)=\frac1{\sqrt6} \begin{pmatrix}\sqrt3&\sqrt2&1\\-\sqrt3&\sqrt2&1\\0&-\sqrt2&2\end{pmatrix}},\\ \boxed{P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(1,2,5)}. \end{gathered}$$

(3)

$X=PU$、$U=(u,v,w)^{\mathsf T}$、$P^{\mathsf T}B=(0,12,0)^{\mathsf T}$ より

$$\begin{gathered} u^2+2v^2+5w^2+12v+17=0\\ \Longleftrightarrow\\ \boxed{u^2+2(v+3)^2+5w^2=1}. \end{gathered}$$

中心 $(0,-3,0)$、半軸長 $1,1/\sqrt2,1/\sqrt5$ の楕円面である。