九州大学 工学府 機械系専攻 2017年度 数学 問3

标签：

• 九州大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

$xyz$ 空間の2次曲面を表す次の方程式について、以下の問いに答えよ。（50点）

$$2x^2+2y^2+4z^2+2xy+2yz+2xz+4\sqrt3x+4\sqrt3y-4\sqrt3z+17=0.$$

1. 与式を $X^{\mathsf T}AX+B^{\mathsf T}X+c=0$ と表したとき、行列 $A$ の固有値と正規化した固有ベクトルを求めよ。ただし $X$ は $xyz$ 空間のベクトルを表す。
2. $P^{\mathsf T}AP$ が対角行列になる行列 $P$ とその時の対角行列を求めよ。
3. $xyz$ 空間は $uvw$ 空間を行列 $P$ によって変換されたものとすると、$uvw$ 空間の2次曲面を求めよ。

题目描述

将给定三元二次方程写为二次型，求特征值及单位特征向量，构造正交坐标变换，并求新坐标下的曲面。

Kai

(1)

$$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&4\end{pmatrix},\qquad B=4\sqrt3\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\qquad c=17.$$

$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-5)$。対応する単位固有ベクトルは

$$\boxed{v_1=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^{\mathsf T},\quad v_2=\frac1{\sqrt3}(1,1,-1)^{\mathsf T},\quad v_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,2)^{\mathsf T}}.$$

(2)

$$\boxed{P=(v_1\ v_2\ v_3)=\frac1{\sqrt6} \begin{pmatrix}\sqrt3&\sqrt2&1\\-\sqrt3&\sqrt2&1\\0&-\sqrt2&2\end{pmatrix}}, \qquad \boxed{P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(1,2,5)}.$$

(3)

$X=PU$、$U=(u,v,w)^{\mathsf T}$、$P^{\mathsf T}B=(0,12,0)^{\mathsf T}$ より

$$u^2+2v^2+5w^2+12v+17=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u^2+2(v+3)^2+5w^2=1}.$$

中心 $(0,-3,0)$、半軸長 $1,1/\sqrt2,1/\sqrt5$ の楕円面である。