九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 数学 問2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ を零ベクトルでない $n$ 次元列ベクトルとする。$n\times n$ 行列 $K$ を $K=\boldsymbol a\boldsymbol a^{\mathsf T}$ と定義する。スカラー $p,q,r,s$ をそれぞれ

$$\begin{aligned} p&=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol a,& q&=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol b,\\ r&=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol c,& s&=\boldsymbol b^{\mathsf T}\boldsymbol c \end{aligned}$$

と定義する。以下の問いに答えよ。（50点）

(1) $K\boldsymbol a=\kappa_1\boldsymbol a$ を満たすスカラー $\kappa_1$ を、$p,q,r,s$ のうち必要なものを用いて表せ。

(2) $(\boldsymbol b+\boldsymbol c)^{\mathsf T}K(\boldsymbol a+\boldsymbol c)$ を、$p,q,r,s$ のうち必要なものを用いて表せ。

(3) $\begin{bmatrix}\boldsymbol a^{\mathsf T}\\\boldsymbol c^{\mathsf T}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol a&\boldsymbol b\end{bmatrix}$ を、$p,q,r,s$ のうち必要なものを用いて表せ。

(4) $\boldsymbol c^{\mathsf T}\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol a&\boldsymbol b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol a^{\mathsf T}\\\boldsymbol c^{\mathsf T}\end{bmatrix}-K\right)\boldsymbol b$ を、$p,q,r,s$ のうち必要なものを用いて表せ。

(5) $K$ のランクを求めよ。

题目描述

设 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 为非零的 $n$ 维列向量。定义 $n\times n$ 矩阵 $K=\boldsymbol a\boldsymbol a^{\mathsf T}$，以及标量

$$\begin{aligned} p&=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol a,& q&=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol b,\\ r&=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol c,& s&=\boldsymbol b^{\mathsf T}\boldsymbol c. \end{aligned}$$

回答以下各问。（50分）

(1) 用 $p,q,r,s$ 中所需的量表示满足 $K\boldsymbol a=\kappa_1\boldsymbol a$ 的标量 $\kappa_1$。

(2) 用 $p,q,r,s$ 中所需的量表示 $(\boldsymbol b+\boldsymbol c)^{\mathsf T}K(\boldsymbol a+\boldsymbol c)$。

(3) 用 $p,q,r,s$ 中所需的量表示 $\begin{bmatrix}\boldsymbol a^{\mathsf T}\\\boldsymbol c^{\mathsf T}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol a&\boldsymbol b\end{bmatrix}$。

(4) 用 $p,q,r,s$ 中所需的量表示 $\boldsymbol c^{\mathsf T}\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol a&\boldsymbol b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol a^{\mathsf T}\\\boldsymbol c^{\mathsf T}\end{bmatrix}-K\right)\boldsymbol b$。

(5) 求 $K$ 的秩。

Kai

(1)

$$K\boldsymbol a=\boldsymbol a(\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol a)=p\boldsymbol a \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\kappa_1=p}.$$

(2)

$$(\boldsymbol b+\boldsymbol c)^{\mathsf T}\boldsymbol a\, \boldsymbol a^{\mathsf T}(\boldsymbol a+\boldsymbol c) =\boxed{(q+r)(p+r)}.$$

(3)

$$\boxed{\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}.$$

(4)

括弧内は $\boldsymbol a\boldsymbol a^{\mathsf T}+\boldsymbol b\boldsymbol c^{\mathsf T}-K=\boldsymbol b\boldsymbol c^{\mathsf T}$ なので

$$\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol b\, \boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol b=\boxed{s^2}.$$

(5)

$KX=\boldsymbol a(\boldsymbol a^{\mathsf T}X)$ より、像は $\operatorname{span}\{\boldsymbol a\}$ に含まれる。また $\boldsymbol a\ne0$ より $p>0$、$K\boldsymbol a=p\boldsymbol a\ne0$ なので像の次元は1。従って $\boxed{\operatorname{rank}K=1}$。