九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 数学 問1

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Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

以下に示す(1)(2)の微分方程式の解を(A)式で表すとき、係数 $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ を求めよ。（50点）

$$\begin{aligned} y(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_nx^n+\cdots. \end{aligned} \tag{A}$$

(1) $\dfrac{dy(x)}{dx}-y(x)=0,\quad y(0)=1$

(2) $(x+1)\dfrac{dy(x)}{dx}+y(x)-2x=0,\quad y(0)=0$

题目描述

将下面(1)、(2)中微分方程的解表示为式(A)时，求系数 $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$。（50分）

$$\begin{aligned} y(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_nx^n+\cdots. \end{aligned} \tag{A}$$

(1) $\dfrac{dy(x)}{dx}-y(x)=0,\quad y(0)=1$。

(2) $(x+1)\dfrac{dy(x)}{dx}+y(x)-2x=0,\quad y(0)=0$。

Kai

(1)

$y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n$ を代入すると

$$(n+1)a_{n+1}=a_n,\qquad a_0=1.$$

従って $\boxed{a_n=1/n!\ (n\ge0)}$。級数は $e^x$ であり、すべての実数 $x$ で収束する。

(2)

定数項より $a_0+a_1=0$、$x$ の係数より $2a_1+2a_2=2$、$x^n\ (n\ge2)$ の係数より $(n+1)(a_n+a_{n+1})=0$。$a_0=0$ を用いると

$$\boxed{a_0=a_1=0,\qquad a_n=(-1)^n\quad(n\ge2)}.$$

実際、$|x|<1$ では $y=x^2/(1+x)=x^2-x^3+x^4-\cdots$ である。