九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 材料力学 問4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のような、長さ $L$ で内径 $d_0$、肉厚 $w$ の薄肉円筒があり、両端が剛体円板で閉じられている。円筒に内圧 $p$ が負荷された時に、次の問いに答えよ。（35点）

1) 円筒の長手方向中央に生じる軸方向の垂直応力 $\sigma_a$ と円周方向の垂直応力 $\sigma_t$ を求めよ。

2) 円筒の長手方向中央に生じる円周方向の垂直ひずみ $\varepsilon_t$ を求めよ。

3) 円筒の長手方向の中央部において、内圧 $p$ が負荷された後の内径 $d$ を求めよ。

4) 内圧 $p$ に加えて、剛体円板に引張荷重 $F$ を負荷する。円筒の長手方向の中央部における内径 $d$ が、内圧を負荷する前の内径 $d_0$ となる $F$ を求めよ。

図中、$E$ はヤング率、$\nu$ はポアソン比であり、$L\gg d\gg w$ とする。

题目描述

如图，有一长度为 $L$、内径为 $d_0$、壁厚为 $w$ 的薄壁圆筒，两端由刚性圆板封闭。当圆筒承受内压 $p$ 时，回答下列问题。（35分）

1) 求圆筒轴向中部的轴向正应力 $\sigma_a$ 和环向正应力 $\sigma_t$。

2) 求圆筒轴向中部的环向正应变 $\varepsilon_t$。

3) 求施加内压 $p$ 后，圆筒轴向中部的内径 $d$。

4) 除内压 $p$ 外，再向刚性圆板施加拉伸载荷 $F$。求使圆筒轴向中部内径 $d$ 恢复为加压前内径 $d_0$ 的 $F$。

图中 $E$ 为杨氏模量，$\nu$ 为泊松比，且 $L\gg d\gg w$。

Kai

(1)

薄肉近似で断面の軸方向つり合いを取ると

$$\sigma_a\pi d_0w=p\frac{\pi d_0^2}{4}, \qquad\boxed{\sigma_a=\frac{pd_0}{4w}}.$$

円筒を軸に沿って二分した自由物体のつり合いから

$$2\sigma_twL=pd_0L, \qquad\boxed{\sigma_t=\frac{pd_0}{2w}}.$$

(2)

半径方向応力を省略する平面応力近似より

$$\boxed{\varepsilon_t=\frac{\sigma_t-\nu\sigma_a}{E} =\frac{pd_0(2-\nu)}{4Ew}}.$$

(3)

円周のひずみは内径の変化率に等しいので

$$\begin{gathered} \varepsilon_t=\frac{\pi d-\pi d_0}{\pi d_0},\\ \boxed{d=d_0\left[1+\frac{pd_0(2-\nu)}{4Ew}\right]}. \end{gathered}$$

(4)

引張力を加えたとき

$$\sigma_a=\frac{pd_0}{4w}+\frac{F}{\pi d_0w},\qquad \sigma_t=\frac{pd_0}{2w}.$$

内径が元に戻る条件は $\varepsilon_t=0$、すなわち $\sigma_t=\nu\sigma_a$ である。よって

$$\boxed{F=\frac{(2-\nu)\pi pd_0^2}{4\nu}}.$$

通常の $0<\nu<1/2$ の材料では正の引張力となる。