九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 材料力学 問3

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• 应变能

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$ の弾性体棒 AB、BC と剛体棒 CD、DF が接合された構造体が点 A で壁に固定されている。いずれの弾性体棒も、直径は $d$ である。また、点 F に $y$ 方向に荷重 $P$ が作用している。次の各問いに答えよ。（40点）

(1) 丸棒の断面二次モーメント $I$、断面二次極モーメント $I_p$ および横弾性係数 $G$ を記述せよ。

(2) AB 間のせん断力線図（SFD）と曲げモーメント線図（BMD）を描け。

(3) 点 B の $x$ 方向変位 $\delta_{Bx}$、$y$ 方向変位 $\delta_{By}$、$z$ 方向変位 $\delta_{Bz}$ を求めよ。

(4) 点 C の $x$ 方向変位 $\delta_{Cx}$、$y$ 方向変位 $\delta_{Cy}$、$z$ 方向変位 $\delta_{Cz}$ を求めよ。

(5) 点 F の $x$ 方向変位 $\delta_{Fx}$、$y$ 方向変位 $\delta_{Fy}$、$z$ 方向変位 $\delta_{Fz}$ を求めよ。

図中、AB は $x$ 方向に長さ $a$、BC は $y$ 方向に長さ $b$、CD は $x$ 方向に長さ $c$、DF は $z$ 方向に長さ $e$ をもち、$a,b,c,e\gg d$ である。

题目描述

如图，由杨氏模量为 $E$、泊松比为 $\nu$ 的弹性杆 AB、BC 与刚杆 CD、DF 连接成的结构，在 A 点固定于墙壁。两根弹性杆的直径均为 $d$。F 点受到沿 $y$ 方向的载荷 $P$。回答下列问题。（40分）

(1) 写出圆杆的截面二次矩 $I$、截面极二次矩 $I_p$ 以及剪切模量 $G$。

(2) 绘制 AB 段的剪力图（SFD）和弯矩图（BMD）。

(3) 求 B 点沿 $x,y,z$ 方向的位移 $\delta_{Bx},\delta_{By},\delta_{Bz}$。

(4) 求 C 点沿 $x,y,z$ 方向的位移 $\delta_{Cx},\delta_{Cy},\delta_{Cz}$。

(5) 求 F 点沿 $x,y,z$ 方向的位移 $\delta_{Fx},\delta_{Fy},\delta_{Fz}$。

图中 AB 沿 $x$ 方向长 $a$，BC 沿 $y$ 方向长 $b$，CD 沿 $x$ 方向长 $c$，DF 沿 $z$ 方向长 $e$，且 $a,b,c,e\gg d$。

Kai

(1)

$$\boxed{\begin{gathered} I=\frac{\pi d^4}{64},\\ I_p=\frac{\pi d^4}{32}=2I,\\ G=\frac{E}{2(1+\nu)} \end{gathered}}.$$

以下 $A_0=\pi d^2/4$ とし、曲げ・ねじりによる一次の変位を求める。BC の軸伸び $Pb/(EA_0)$ も併記する。

(2)

AB 上で A からの距離を $s$ とすると、断面の先に作用する荷重の合力は $P\boldsymbol e_y$、その力のモーメントは

$$\boldsymbol M(s)=-Pe\boldsymbol e_x+P(a+c-s)\boldsymbol e_z.$$

したがって、断面の先の荷重を正に取る符号規約では

$$\begin{gathered} \boxed{V_y(s)=P,\qquad M_z(s)=P(a+c-s)}\\ (0<s<a). \end{gathered}$$

SFD は高さ $P$ の一定値、BMD は A の $P(a+c)$ から B の $Pc$ へ直線的に減少する。ねじりモーメントは別に $T_x=-Pe$ で一定である。

(3)

AB は $y$ 方向の端力 $P$ と $z$ 軸まわりの端偶力 $Pc$ を受けるので

$$\boxed{\begin{gathered} \delta_{Bx}=0,\\ \delta_{By}=\frac{P}{EI}\left(\frac{a^3}{3}+\frac{ca^2}{2}\right),\\ \delta_{Bz}=0 \end{gathered}}.$$

B の回転ベクトルは

$$\boldsymbol\varphi_B= \left(-\frac{Pea}{GI_p},\ 0, \frac{P}{EI}\left(\frac{a^2}{2}+ac\right)\right).$$

ねじりによる断面回転だけでは中心線上の B に $z$ 方向変位は生じない。たわみとねじれ角の積は二次の微小量なので、線形理論には含めない。

(4)

B の回転による C の変位は $\boldsymbol\varphi_B\times(b\boldsymbol e_y)$。さらに BC は軸力 $P$、一定曲げモーメント $(-Pe,0,Pc)$ を受ける。したがって

$$\boxed{\delta_{Cx}=-\frac{P}{EI} \left(\frac{a^2b}{2}+abc+\frac{cb^2}{2}\right)},$$

$$\boxed{\delta_{Cy}=\frac{P}{EI} \left(\frac{a^3}{3}+\frac{ca^2}{2}\right)+\frac{Pb}{EA_0}},$$

$$\boxed{\begin{gathered} \delta_{Cz}=-\frac{Peab}{GI_p}-\frac{Peb^2}{2EI}\\ =-\frac{Peb}{2EI}\{2(1+\nu)a+b\} \end{gathered}}.$$

BC の軸伸びを無視する近似では、$\delta_{Cy}$ の最後の項を省く。

(5)

C の回転は

$$\boldsymbol\varphi_C= \left(-\frac{Pea}{GI_p}-\frac{Peb}{EI},\ 0, \frac{P}{EI}\left(\frac{a^2}{2}+ac+bc\right)\right).$$

CD、DF は剛体だから

$$\boldsymbol\delta_F= \boldsymbol\delta_C+\boldsymbol\varphi_C\times (c\boldsymbol e_x+e\boldsymbol e_z).$$

よって

$$\boxed{\delta_{Fx}=\delta_{Cx},\qquad \delta_{Fz}=\delta_{Cz}},$$

$$\boxed{\delta_{Fy}= \frac{P}{EI}\left[ \frac{a^3}{3}+a^2c+ac^2+bc^2+be^2+(1+\nu)ae^2 \right]+\frac{Pb}{EA_0}}.$$

最後の軸伸びの項は細長い棒で省略できる。上式は、弾性部 AB、BC のひずみエネルギーを荷重 $P$ で微分しても得られる。