九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 材料力学 問2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

弾性体のはり AB とはり CD は、剛体棒を介して下図の様に繋がれている。剛体棒 JG とはり AB、はり CD は、それぞれ固定されている。なお、剛体棒 JG の直径は、はり AB とはり CD の長さに比べて充分に小さいものとする。点 A、点 C、点 F における支点反力をそれぞれ $R_A,R_C,R_F$、剛体棒 JG にかかる力を $Q$ とし、次の問いに答えよ。（35点）

(1) $R_A,R_F,Q$ の関係を示せ。

(2) $Q$ を用いて点 J の変位を表せ。

(3) $Q$ を求めよ。

図中、$E$ はヤング率、$I$ は断面二次モーメントである。AF、FG、GH、HB、CJ、JD、JG の長さはいずれも $\ell$。J に下向きの荷重 $P$ が作用し、各支点は図示のとおりである。

题目描述

弹性梁 AB 与 CD 通过刚杆连接，如图所示。刚杆 JG 与梁 AB、CD 分别为固定连接。刚杆 JG 的直径相对于两根梁的长度充分小。设 A、C、F 点的支承反力分别为 $R_A,R_C,R_F$，刚杆 JG 中的力为 $Q$，回答下列问题。（35分）

(1) 给出 $R_A,R_F,Q$ 之间的关系。

(2) 用 $Q$ 表示 J 点的位移。

(3) 求 $Q$。

图中 $E$ 为杨氏模量，$I$ 为截面二次矩。AF、FG、GH、HB、CJ、JD、JG 的长度均为 $\ell$。J 点承受向下的载荷 $P$，各支承形式如图。

Kai

反力の正方向を上向きとし、$Q>0$ を JG が圧縮を受け、下梁 G に下向きの力 $Q$ が作用する場合と定義する。左右対称性から、B の反力は $R_A$、H の反力は $R_F$、D の反力は $R_C$ に等しい。

(1)

下梁の鉛直方向のつり合いより

$$\boxed{2R_A+2R_F=Q}.$$

この符号規約では、A と B の反力は負となる。

(2)

上梁 CD の中央には合力 $P-Q$ が下向きに作用する。対称軸 J では回転角がゼロなので、剛体棒との接合部に伝達モーメントは生じない。長さ $2\ell$ の単純支持ばりの中央たわみから

$$\boxed{\delta_J=\frac{(P-Q)(2\ell)^3}{48EI} =\frac{(P-Q)\ell^3}{6EI}}$$

を得る。下向きを正とした。

(3)

下梁の左半分 AFG で、A からの距離を $x$、下向きたわみを $v(x)$ とする。Macaulay 括弧 $\langle x-\ell\rangle=\max(x-\ell,0)$ を用いれば

$$EI v(x)=-\frac{R_Ax^3}{6} -\frac{R_F\langle x-\ell\rangle^3}{6}+C_1x.$$

$v(\ell)=0$ と対称条件 $v'(2\ell)=0$ より

$$C_1=\frac{R_A\ell^2}{6},\qquad 11R_A+3R_F=0.$$

(1) と合わせて

$$R_A=-\frac{3Q}{16},\qquad R_F=\frac{11Q}{16}.$$

したがって

$$\delta_G=v(2\ell)=\frac{7Q\ell^3}{96EI}.$$

JG は剛体であり $\delta_J=\delta_G$ なので

$$\frac{P-Q}{6}=\frac{7Q}{96},\qquad \boxed{Q=\frac{16P}{23}}.$$

なお $\delta_J=\delta_G=7P\ell^3/(138EI)$ となる。