九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 流体工学 問1

标签：

• 九州大学
• 控制体动量守恒
• 角动量守恒与面积速度

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように，断面形状の一部が半径 $r$ の円弧状（中心角は $\pi/2$）で，その両端に平板が滑らかに繋がれた板がある。板の厚みは一様でかつ変形することはなく，また板は空間に完全に固定されている。図のように $x$ 軸と $y$ 軸を設けるとき，図の円弧の中心Oを通過し，かつ中心線が $y$ 軸方向から図のように角度 $\theta\ (0<\theta<\pi/2)$ だけ傾いた状態で円弧部に衝突する，幅 $w_1$ の二次元噴流1がある。一方，噴流1の衝突位置のちょうど裏側の同じ位置に，$x$ 軸方向の負の向きに衝突する二次元噴流2があり，噴流2の衝突前の幅は $w_2$ である。噴流1と2の流体の密度はともに $\rho$，流速の大きさはともに $u$ である。板と二つの噴流の奥行きはすべて $b$ であり，また噴流は非圧縮非粘性の定常流れで，重力の影響も無視できるものとする。板の厚みと噴流の幅は十分に薄く，また板との衝突後の噴流は完全に板に沿って流れ，図の平板部の端Aと端Bからまっすぐに流出するものとして，以下の問に答えよ。（50点）

(1) 噴流1について，板との衝突後，板端Aから流出する噴流の幅 $w_{A1}$ と，板端Bから流出する噴流の幅 $w_{B1}$ を，それぞれ求めよ。

(2) 噴流1が板に及ぼす力について，$x$ 軸方向成分 $F_{x1}$ と，$y$ 軸方向成分 $F_{y1}$ を求めよ。

(3) 噴流2について，板との衝突後，板端Aから流出する噴流の幅 $w_{A2}$ と，板端Bから流出する噴流の幅 $w_{B2}$ を，それぞれ求めよ。

(4) 噴流2が板に及ぼす力について，$x$ 軸方向成分 $F_{x2}$ と，$y$ 軸方向成分 $F_{y2}$ を求めよ。

(5) 衝突前における噴流1と噴流2の幅が等しく，$w_1=w_2=w$ であるとき，噴流1と噴流2が板に及ぼす合力について，$x$ 軸方向成分 $F_x$ と，$y$ 軸方向成分 $F_y$ を求めよ。

题目描述

如图所示，一块板的部分截面呈半径为 $r$、圆心角为 $\pi/2$ 的圆弧，两端与平板平滑相接。板厚均匀、不发生变形，并完全固定在空间中。按图建立 $x,y$ 坐标轴。二维射流1的宽度为 $w_1$，其中心线经过圆弧中心O，并按图相对于 $y$ 轴方向倾斜 $\theta$，其中 $0<\theta<\pi/2$，然后撞击圆弧部分。二维射流2沿 $x$ 轴负方向撞击板背面，撞击点恰好位于射流1撞击点的正背面，其撞击前宽度为 $w_2$。两股射流的流体密度均为 $\rho$，速率均为 $u$；板和两股射流的进深均为 $b$。射流为不可压缩、无黏、定常流动，重力影响可忽略。板厚和射流宽度均足够小，撞击后的射流完全沿板面流动，并从图中平板部分的端点A和B笔直流出。回答下列问题。（50分）

(1) 对射流1，分别求撞击板后从端点A流出的射流宽度 $w_{A1}$ 和从端点B流出的射流宽度 $w_{B1}$。

(2) 求射流1对板施加的力的 $x$ 分量 $F_{x1}$ 和 $y$ 分量 $F_{y1}$。

(3) 对射流2，分别求撞击板后从端点A流出的射流宽度 $w_{A2}$ 和从端点B流出的射流宽度 $w_{B2}$。

(4) 求射流2对板施加的力的 $x$ 分量 $F_{x2}$ 和 $y$ 分量 $F_{y2}$。

(5) 若两股射流撞击前的宽度相等，即 $w_1=w_2=w$，求它们对板施加的合力的 $x$ 分量 $F_x$ 和 $y$ 分量 $F_y$。

Kai

各自由噴流の圧力は大気圧で、ベルヌーイ式から各出口の速さは $u$。以下の力は流体が板に及ぼす力である。

(1)

連続の式から $w_{A1}+w_{B1}=w_1$。衝突点で噴流1は板に垂直であり、接線方向運動量は0なので、二方向への流出量は等しい。したがって

$$\boxed{w_{A1}=w_{B1}=\frac{w_1}{2}}.$$

(2)

流入速度は $u(\sin\theta,-\cos\theta)$、A、B の流出速度はそれぞれ $(-u,0),(0,u)$。流入運動量流束から流出運動量流束を引いて

$$\begin{gathered} \boxed{F_{x1}=\rho bu^2w_1\left(\sin\theta+\frac12\right)},\\ \boxed{F_{y1}=-\rho bu^2w_1\left(\cos\theta+\frac12\right)}. \end{gathered}$$

(3)

衝突点から A 向きの局所接線方向への入射速度成分は $u\cos\theta$。連続と接線方向運動量から

$$\begin{gathered} w_{A2}+w_{B2}=w_2,\\ w_{A2}-w_{B2}=w_2\cos\theta. \end{gathered}$$

よって

$$\begin{gathered} \boxed{w_{A2}=\frac{1+\cos\theta}{2}w_2},\\ \boxed{w_{B2}=\frac{1-\cos\theta}{2}w_2}. \end{gathered}$$

(4)

流入速度は $(-u,0)$ であるから

$$\begin{aligned} F_{x2}&=\rho bu^2(-w_2+w_{A2}) =\boxed{-\frac{1-\cos\theta}{2}\rho bu^2w_2},\\ F_{y2}&=-\rho bu^2w_{B2} =\boxed{-\frac{1-\cos\theta}{2}\rho bu^2w_2}. \end{aligned}$$

(5)

(2)、(4)を加えると

$$\begin{gathered} \boxed{F_x=\rho bu^2w\left(\sin\theta+\frac{\cos\theta}{2}\right)},\\ \boxed{F_y=-\rho bu^2w\left(1+\frac{\cos\theta}{2}\right)}. \end{gathered}$$