九州大学 工学府 機械系専攻 2016年8月実施 機械力学 問3

标签：

• 九州大学
• 弦振动
• 受迫振动

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、長さ $l$、線密度 $\rho$、張力 $T$ の一様な弦と、質量 $m$、長さ $2l$ で太さの無視できる一様な剛体棒が直線状に結合された系において、水平面内で生じる微小振動を考える。弦の左端および剛体棒の右端はそれぞれ壁に取り付けられており、剛体棒の右端と壁の間は摩擦なしで自由に回転できる。弦の左端 O を原点として弦の長手方向に $x$ 軸をとり、時刻 $t$ における弦の変位を $u(x,t)$ で表す。図に示すように、剛体棒の重心に $x$ 軸と直交する方向の周期外力 $f\cos\omega t$ が作用するとき、以下の問いに答えよ。重力の影響および張力 $T$ の変動は無視してよい。（50点）

(1) 弦の振動を表す運動方程式（波動方程式）を導出せよ。

(2) 弦の両端 $x=0$ および $x=l$ において $u(x,t)$ が満たすべき境界条件を示せ。なお、剛体棒の重心を通り棒に垂直な軸まわりの慣性モーメントは $I_G=ml^2/3$ である。（ヒント：剛体棒の右端まわりの回転に関する運動方程式を考えよ。）

(3) 定常応答（強制振動解）を表す $u(x,t)$ を求めよ。さらに、その結果を用いて剛体棒が振動しないで静止するような加振角振動数 $\omega$ を示せ。ただし、$\omega\ne0$ とする。

(4) 剛体棒の質量 $m$ を無視して 1 次の共振周波数を求めたところ、無視しない場合に比べて 2 倍になった。このような関係が成立するときの $m$ を $\rho$ および $l$ で表せ。

题目描述

如图，长度为 $l$、线密度为 $\rho$、张力为 $T$ 的均匀弦，与质量为 $m$、长度为 $2l$、粗细可忽略的均匀刚性杆共线连接。考虑系统在水平面内的微小振动。弦左端和刚性杆右端分别安装于墙壁，杆右端与墙壁之间可无摩擦自由转动。以弦左端 O 为原点，沿弦的长度方向取 $x$ 轴，以 $u(x,t)$ 表示时刻 $t$ 的弦位移。如图，在杆重心处沿垂直于 $x$ 轴的方向施加周期外力 $f\cos\omega t$。忽略重力及张力 $T$ 的变化，回答下列问题。（50分）

(1) 推导描述弦振动的运动方程（波动方程）。

(2) 写出 $u(x,t)$ 在弦两端 $x=0$ 和 $x=l$ 应满足的边界条件。杆绕通过重心且垂直于杆的轴的转动惯量为 $I_G=ml^2/3$。（提示：考虑杆绕其右端转动的运动方程。）

(3) 求表示稳态响应（受迫振动解）的 $u(x,t)$。进一步利用该结果，给出使杆不振动而保持静止的激励角频率 $\omega$，其中 $\omega\ne0$。

(4) 忽略杆质量 $m$ 计算一阶共振频率，结果为不忽略质量时的 2 倍。用 $\rho,l$ 表示满足这一关系的 $m$。

Kai

(1)

微小弦要素の横方向の運動方程式より

$$\boxed{\rho u_{tt}=T u_{xx},\qquad c=\sqrt{T/\rho}.}$$

(2)

左端では $\boxed{u(0,t)=0}$。右端変位を $q(t)=u(l,t)$ とする。棒の右端に関する慣性モーメントは $I_O=I_G+ml^2=4ml^2/3$、回転角は $\theta=q/(2l)$ である。

弦が棒に与える力は一次まで $(-T,-Tu_x(l,t))$、棒の左端の支点からの位置は $(-2l,q)$ である。そのため、張力による復元モーメントには横成分だけでなく、水平成分による $Tq$ も含まれる。回転方程式は

$$\frac{4ml^2}{3}\ddot\theta =fl\cos\omega t-2lT u_x(l,t)-Tq.$$

したがって

$$\boxed{\frac m3u_{tt}(l,t)+T u_x(l,t) +\frac{T}{2l}u(l,t)=\frac f2\cos\omega t.}$$

(3)

$\kappa=\omega/c$ とおき、$u(x,t)=A\sin(\kappa x)\cos\omega t$ を代入すると

$$\boxed{u(x,t)= \frac{(f/2)\sin(\kappa x)} {T\kappa\cos(\kappa l)+\left(T/(2l)-m\omega^2/3\right)\sin(\kappa l)} \cos\omega t.}$$

分母がゼロの場合は共振であり、有界な調和定常解はない。棒が静止する条件は $u(l,t)=0$、すなわち

$$\boxed{\omega=\frac{n\pi}{l}\sqrt{\frac T\rho},\qquad n=1,2,\ldots.}$$

このとき分母は $T\kappa(-1)^n\ne0$ である。

(4)

$z=\omega l/c$、$\mu=m/(\rho l)$ とおくと固有振動数の条件は

$$z\cos z+\left(\frac12-\frac\mu3z^2\right)\sin z=0.$$

$m=0$ の最小正根 $z_0$ は

$$\begin{gathered} z_0\cot z_0=-\frac12,\\ \frac\pi2<z_0<\pi,\\ z_0\simeq1.8365972. \end{gathered}$$

有質量の 1 次振動数がその半分なら $z=z_0/2$ なので

$$\boxed{m=3\rho l\left[ \frac{\cot(z_0/2)}{z_0/2}+\frac{1}{2(z_0/2)^2}\right] \simeq4.2752051\,\rho l.}$$

張力の水平成分による幾何剛性 $T/(2l)$ をさらに省略する近似を採る場合は、(2) のその項を除く。この近似では無質量時の端が自由端となり、$z_0=\pi/2$、$m=12\rho l/\pi$ を得る。固定支点まわりに回転する棒の力のモーメントを一次まで保持するモデルとは区別する必要がある。