九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 熱工学 問3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図(a)のように，熱伝導率が $k_A$，厚さが $L_A$ の平板Aと熱伝導率が $k_B\,(=k_A/2)$，厚さが $L_B\,(=2L_A)$ の平板Bが密着し，それぞれ異なる温度の流体にさらされている。温度 $T_1$ の流体1と接する平板Aの表面温度を $T_A$，温度 $T_2$ の流体2と接する平板Bの表面温度を $T_B$ とし，$T_1>T_2$ である。平板Aは流体1と熱伝達率 $h_A$ で，平板Bは流体2と熱伝達率 $h_B$ でそれぞれ対流熱伝達を生じている。なお，密着面の接触熱抵抗は無視できる。また，平板AとBの内部では厚さ方向（座標 $x$）に一次元定常熱伝導が生じている。次の(1)平板Aで内部発熱がない場合と(2)ある場合について，それぞれ答えよ。ここで，単位は熱伝導率が $\mathrm{W/(m\cdot K)}$，熱伝達率が $\mathrm{W/(m^2\cdot K)}$，厚さが $\mathrm m$，温度が $\mathrm K$ とする。物性値は一定とし，平板Bは発熱しない。ふく射伝熱は考えなくてよい。（55点）

(1) 平板Aの内部発熱がない場合：

(1-1) 平板を通過する熱流束 $q\,(\mathrm{W/m^2})$ を $k_A,L_A,h_A,h_B,T_1-T_2$ を用いて表せ。

(1-2) 温度差 $T_1-T_A$ は $T_1-T_2$ の $4/10$ 倍，$T_A-T_B$ は $T_1-T_2$ の $5/10$ 倍であった。熱伝達率 $h_B$ は $h_A$ の何倍であるか求めよ。また，平板AとBの接触面温度 $T_{AB}$ を $T_1$ と $T_2$ を用いて表せ。さらに，$h_A$ を $k_A$ と $L_A$ で表せ。図(b)を使って考えてよい。

(2) 表面温度 $T_A$ が $T_1$ と等しくなるように平板Aに体積発熱量 $H_0\,(\mathrm{W/m^3})$ で一様に内部発熱させた場合（ただし，$T_1>T_2$，熱伝導率や熱伝達率も(1)と変わらない）：

(2-1) 平板Aから流体1への，ならびに平板Bから流体2への，熱流束（$\mathrm{W/m^2}$）をそれぞれ求めよ。ただし，温度の記号 $T$ は使用不可とする。

(2-2) 平板A内の温度分布 $T(x)$ を $x,k_A,H_0,T_1$ を用いて表せ。なお，内部発熱のある定常一次元熱伝導方程式は

$$\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dx^2}+\frac{H_0}{k_A}=0$$

である。

(2-3) 体積発熱量 $H_0$ を $k_A,L_A,h_B,T_1-T_2$ を用いて表せ。

(2-4) さらに，体積発熱量を $H_0$ の $\alpha\,(>1)$ 倍に増やしたところ，温度差 $T_A-T_1$ と $T_B-T_2$ はともに等しく $\Delta T$ になった。倍率 $\alpha$ を $\Delta T,h_A,h_B,L_A,H_0$ で表せ。

题目描述

如图(a)，导热系数为 $k_A$、厚度为 $L_A$ 的平板A与导热系数为 $k_B=k_A/2$、厚度为 $L_B=2L_A$ 的平板B紧密接触，两侧分别暴露于温度不同的流体。与温度 $T_1$ 的流体1接触的A板表面温度为 $T_A$，与温度 $T_2$ 的流体2接触的B板表面温度为 $T_B$，且 $T_1>T_2$。A板与流体1之间、B板与流体2之间分别以换热系数 $h_A,h_B$ 发生对流换热。可忽略接触面的接触热阻。两板内沿厚度方向（坐标 $x$）发生一维稳态导热。分别回答(1)A板无内部热源和(2)有内部热源的情况。导热系数、换热系数、厚度、温度的单位依次为 $\mathrm{W/(m\cdot K)}$、$\mathrm{W/(m^2\cdot K)}$、$\mathrm m$、$\mathrm K$。物性为常数，B板不发热，不考虑辐射换热。（55分）

(1) A板没有内部热源的情况：

(1-1) 用 $k_A,L_A,h_A,h_B,T_1-T_2$ 表示通过平板的热流密度 $q\,(\mathrm{W/m^2})$。

(1-2) 已知 $T_1-T_A$ 是 $T_1-T_2$ 的 $4/10$，$T_A-T_B$ 是 $T_1-T_2$ 的 $5/10$。求 $h_B$ 是 $h_A$ 的多少倍；用 $T_1,T_2$ 表示两板接触面温度 $T_{AB}$；再用 $k_A,L_A$ 表示 $h_A$。可以利用图(b)思考。

(2) 在A板内施加均匀体积发热量 $H_0\,(\mathrm{W/m^3})$，使表面温度 $T_A=T_1$ 的情况。仍有 $T_1>T_2$，导热系数及换热系数均与(1)相同。

(2-1) 分别求从A板流向流体1、从B板流向流体2的热流密度（$\mathrm{W/m^2}$）。不得使用温度符号 $T$。

(2-2) 用 $x,k_A,H_0,T_1$ 表示A板内温度分布 $T(x)$。有内部热源的一维稳态导热方程为

$$\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dx^2}+\frac{H_0}{k_A}=0.$$

(2-3) 用 $k_A,L_A,h_B,T_1-T_2$ 表示体积发热量 $H_0$。

(2-4) 再将体积发热量增加为 $H_0$ 的 $\alpha\,(>1)$ 倍，发现温差 $T_A-T_1$ 与 $T_B-T_2$ 均等于 $\Delta T$。用 $\Delta T,h_A,h_B,L_A,H_0$ 表示倍率 $\alpha$。

Kai

(1-1)

熱抵抗の直列和より

$$\boxed{q=\frac{T_1-T_2}{1/h_A+5L_A/k_A+1/h_B}.}$$

(1-2)

流体 2 側の温度差は全温度差の $0.1$ 倍。両対流抵抗の比から

$$\boxed{h_B=4h_A.}$$

A、B の伝導熱抵抗比は $1:4$ なので、A 内の温度降下は全体の $0.1$ 倍となる。したがって

$$\boxed{T_{AB}=\frac{T_1+T_2}{2},\qquad h_A=\frac{k_A}{4L_A}.}$$

(2-1)

$T_A=T_1$ より流体 1 への放熱はゼロ。発熱はすべて B 側に流れるので

$$\boxed{q_{A\to1}=0,\qquad q_{B\to2}=H_0L_A.}$$

(2-2)

$T(0)=T_1$、$T'(0)=0$ を積分定数に反映すると

$$\boxed{T(x)=T_1-\frac{H_0}{2k_A}x^2.}$$

(2-3)

A 内、B 内、B 側対流の温度降下の和から

$$T_1-T_2=\frac{H_0L_A^2}{2k_A} +(H_0L_A)\frac{4L_A}{k_A}+\frac{H_0L_A}{h_B}.$$

よって

$$\boxed{H_0=\frac{T_1-T_2}{L_A\left(9L_A/(2k_A)+1/h_B\right)}.}$$

(2-4)

全発熱が両流体への放熱に等しいことから

$$\begin{gathered} \alpha H_0L_A=h_A\Delta T+h_B\Delta T,\\ \boxed{\alpha=\frac{(h_A+h_B)\Delta T}{H_0L_A}.} \end{gathered}$$