九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 熱工学 問1

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• 理想气体的熵与热容
• 热力学第一定律

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

（55点）

［A］

ある気体の圧力を $p$，比体積を $v$，温度を $T$，比内部エネルギーを $u$，比エンタルピーを $h$，気体定数を $R$，定積比熱を $c_v$，定圧比熱を $c_p$，比熱比を $\kappa$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 理想気体の場合，$c_p-c_v=R$ が成り立つことを示せ。なお，理想気体の場合 $u$ は $T$ のみに依存し，$\mathrm du=c_v\mathrm dT$，$\mathrm dh=c_p\mathrm dT$ であることを既知としてよい。

(2) 理想気体かつ比熱の温度依存性が無い場合，断熱変化において $pv^\kappa=\text{一定}$ であることを示せ。なお，(1)の与式を用いてよい。

［B］

図のように断熱のシリンダ・ピストン装置に比熱比 $\kappa$ の理想気体が密閉されている。シリンダとピストンの間に摩擦，気体の漏れは無い。装置内にはヒーターが設置されている。状態0において，気体の圧力は大気圧と同じ $p_0$，体積は $V_0$ である。状態0からピストンに外力を加えないままヒーターによる緩やかな加熱を始め，総量 $Q$ の熱を加えた状態を状態1とし，このときの気体の体積を $V_1$ とする。次に，もう一度状態0に戻る。状態0からピストンを固定してヒーターによる緩やかな加熱を始め，総量 $Q$ の熱を加えた状態を状態2とする。状態2からピストンを手で持ってゆっくり移動し気体の体積を $V_1$ とした状態を状態3とする。$p_0,V_0,\kappa,Q$ を既知とし，以下の問いに答えよ。ただし，全ての変化は準静的であり，$\kappa$ は温度に依存しないとする。

(1) $V_1$ を求めよ。

(2) 状態3の気体の圧力 $p_3$ を求めよ。

(3) $p_0$ と $p_3$ の大小関係について適切な式を選び○で囲め。

$$\begin{gathered}p_0<p_3\\ p_0=p_3\\ p_0>p_3\end{gathered}$$

(4) 状態0から状態1の間に気体がした仕事 $L_{01}$ と状態2から状態3の間に気体がした仕事 $L_{23}$ の大小関係について適切な式を選び○で囲め。

$$\begin{gathered}L_{01}<L_{23}\\ L_{01}=L_{23}\\ L_{01}>L_{23}\end{gathered}$$

(5) (3)で選択した式が成り立つことを示せ。

(6) (4)で選択した式が成り立つことを示せ。なお，(3)で選択した式を用いてよい。

题目描述

（55分）

［A］ 某气体的压力、比体积、温度、比内能、比焓、气体常数、定容比热、定压比热及比热比分别为 $p,v,T,u,h,R,c_v,c_p,\kappa$。回答下列问题。

(1) 证明理想气体满足 $c_p-c_v=R$。可将以下性质视为已知：理想气体的 $u$ 仅依赖于 $T$，且 $\mathrm du=c_v\mathrm dT$、$\mathrm dh=c_p\mathrm dT$。

(2) 对于比热不随温度变化的理想气体，证明绝热变化满足 $pv^\kappa=\text{常数}$。可以使用(1)给出的关系式。

［B］ 如图，绝热气缸—活塞装置内密封着比热比为 $\kappa$ 的理想气体。气缸与活塞之间无摩擦且不漏气，装置内部安装有加热器。状态0时，气体压力与大气压同为 $p_0$，体积为 $V_0$。从状态0开始，不对活塞施加外力，用加热器缓慢加热，输入总热量 $Q$ 后到达状态1，此时体积为 $V_1$。随后重新回到状态0，固定活塞并缓慢加热，输入同样总热量 $Q$ 后到达状态2。再从状态2开始用手握住活塞缓慢移动，使气体体积达到 $V_1$，记为状态3。已知 $p_0,V_0,\kappa,Q$，所有变化均为准静态变化，$\kappa$ 不随温度变化。

(1) 求 $V_1$。

(2) 求状态3的气体压力 $p_3$。

(3) 从以下选项中选出 $p_0,p_3$ 的正确大小关系并圈出：

$$\begin{gathered}p_0<p_3\\ p_0=p_3\\ p_0>p_3.\end{gathered}$$

(4) 比较气体在状态0→1中所做的功 $L_{01}$ 与状态2→3中所做的功 $L_{23}$，选出正确关系并圈出：

$$\begin{gathered}L_{01}<L_{23}\\ L_{01}=L_{23}\\ L_{01}>L_{23}.\end{gathered}$$

(5) 证明(3)中所选的关系成立。

(6) 证明(4)中所选的关系成立。可以使用(3)中所选的关系。

Kai

A(1)

$h=u+pv=u+RT$ を温度で微分すると $c_p=c_v+R$。よって $\boxed{c_p-c_v=R}$。

A(2)

断熱の第一法則より $c_vdT=-p\,dv$。$p\,dv+v\,dp=R\,dT$ に代入し、$R/c_v=\kappa-1$ を使うと

$$\frac{dp}{p}+\kappa\frac{dv}{v}=0, \qquad\boxed{pv^\kappa=\mathrm{const}.}$$

B(1)

気体全体の内部エネルギーは $U=pV/(\kappa-1)$ なので

$$\begin{gathered} Q=\frac{p_0(V_1-V_0)}{\kappa-1}+p_0(V_1-V_0),\\ \boxed{V_1=V_0+\frac{\kappa-1}{\kappa}\frac Q{p_0}.} \end{gathered}$$

B(2)

定積加熱より $p_2=p_0+(\kappa-1)Q/V_0$。続く断熱膨張では

$$\boxed{p_3=\left[p_0+\frac{(\kappa-1)Q}{V_0}\right] \left[1+\frac{(\kappa-1)Q}{\kappa p_0V_0}\right]^{-\kappa}.}$$

B(3), B(4)

$$\boxed{p_0>p_3,\qquad L_{01}<L_{23}.}$$

B(5)

$a=(\kappa-1)Q/(p_0V_0)>0$ とおく。$\kappa>1$ より、厳密な Bernoulli の不等式

$$(1+a/\kappa)^\kappa>1+a$$

が成り立つため、$p_3/p_0=(1+a)/(1+a/\kappa)^\kappa<1$。

B(6)

両経路の受熱量は $Q$ で等しく、最終体積はともに $V_1$ なので、第一法則から

$$L_{23}-L_{01}=U_1-U_3 =\frac{(p_0-p_3)V_1}{\kappa-1}>0.$$

また、$L_{01}=(\kappa-1)Q/\kappa$、$L_{23}=(p_2V_0-p_3V_1)/(\kappa-1)$ でも確認できる。