跳到主要内容

九州大学 工学府 機械系専攻 2016年度 数学 問4

标签：

Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

2次元空間における x,yx,y 方向の単位ベクトルを i,j\boldsymbol i,\boldsymbol j とし、演算子 ∇=i∂/∂x+j∂/∂y\nabla=\boldsymbol i\partial/\partial x+\boldsymbol j\partial/\partial y を定義する。RR を正の実数とし、スカラ関数 Φ(r)\Phi(r)、ベクトル関数 A(x,y)\boldsymbol A(x,y)、スカラ関数 Γ(x,y)\Gamma(x,y) をそれぞれ下記のように定義する。

Φ(r)={r2−R22R20≤r≤R,log⁡(r/R)r>R,A=∇Φ(x2+y2),Γ=∇⋅A.\Phi(r)=\begin{cases}\dfrac{r^2-R^2}{2R^2}&0\le r\le R,\\[3pt]\log(r/R)&r>R,\end{cases} \qquad \boldsymbol A=\nabla\Phi(\sqrt{x^2+y^2}),\qquad \Gamma=\nabla\cdot\boldsymbol A.

以下の問いに答えよ。（50点）

  1. 関数 Φ(r)\Phi(r) の概形を描け。
  2. 関数 A(x,y)\boldsymbol A(x,y) を求めよ。
  3. 関数 Γ(x,y)\Gamma(x,y) を求め、その概形を描け。
  4. 領域 D={(x,y)∣∣x∣≤2R, ∣y∣≤2R}D=\{(x,y)\mid |x|\le2R,\ |y|\le2R\} とするとき、∬DΓ(x,y) dx dy\iint_D\Gamma(x,y)\,dx\,dy を求めよ。

题目描述​

对分段径向势函数求梯度和散度，画势函数与散度的形状，并求正方形区域上的散度积分。

Kai​

(1)​

Φ(0)=−1/2\Phi(0)=-1/2、Φ(R)=0\Phi(R)=0。r<Rr<R では下に凸の放物線、r>Rr>R では単調増加する対数曲線であり、r=Rr=R で値と1階導関数が連続する。

勢関数と散度の動径方向の概形

(2)​

r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} とすると

A(x,y)={xi+yjR2r≤R,xi+yjx2+y2r>R.\boxed{\boldsymbol A(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\boldsymbol i+y\boldsymbol j}{R^2}&r\le R,\\[4pt] \dfrac{x\boldsymbol i+y\boldsymbol j}{x^2+y^2}&r>R. \end{cases}}

両式は r=Rr=R で一致し、原点では A=0\boldsymbol A=0。

(3)​

円周 r=Rr=R を除いて微分すると

Γ(x,y)={2/R2r<R,0r>R.\boxed{\Gamma(x,y)=\begin{cases}2/R^2&rR.\end{cases}}

内側では一定、外側では零である。上図右は半径方向の断面を示す。r=Rr=R では2階微分が一致しないため、古典的な散度は定義できない。この円周での値をどう定めても面積積分は変わらない。また A\boldsymbol A は連続なので境界にデルタ関数状の項は生じない。

(4)​

DD は半径 RR の円板をすべて含むから

∬DΓ dx dy=2R2⋅πR2=2π.\boxed{\iint_D\Gamma\,dx\,dy=\frac2{R^2}\cdot\pi R^2=2\pi}.
本页目录