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九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 数学 問4

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

2次元空間における x,yx,y 方向の単位ベクトルを i,j\boldsymbol i,\boldsymbol j とし、演算子 ∇\nabla を ∇=i∂∂x+j∂∂y\nabla=\boldsymbol i\dfrac\partial{\partial x}+\boldsymbol j\dfrac\partial{\partial y} と定義する。RR を正の実数とし、スカラ関数 Φ(r)\Phi(r)、ベクトル関数 A(x,y)\boldsymbol A(x,y)、スカラ関数 Γ(x,y)\Gamma(x,y) をそれぞれ下記のように定義する。

Φ(r)={r2−R22R2if 0≤r≤R,ln⁡(rR)if r>R,\Phi(r)=\begin{cases} \dfrac{r^2-R^2}{2R^2}&\text{if }0\le r\le R,\\[5pt] \ln\left(\dfrac rR\right)&\text{if }r>R, \end{cases}
A(x,y)=∇Φ(x2+y2),\boldsymbol A(x,y)=\nabla\Phi\left(\sqrt{x^2+y^2}\right),
Γ(x,y)=∇⋅A(x,y).\Gamma(x,y)=\nabla\cdot\boldsymbol A(x,y).

以下の問いに答えよ。（50点）

(1) 関数 Φ(r)\Phi(r) の概形を描け。

(2) 関数 A(x,y)\boldsymbol A(x,y) を求めよ。

(3) 関数 Γ(x,y)\Gamma(x,y) を求め、その概形を描け。

(4) 領域 D={(x,y)∣∣x∣≤2R, ∣y∣≤2R}D=\{(x,y)\mid|x|\le2R,\ |y|\le2R\} とするとき、∬DΓ(x,y) dx dy\displaystyle\iint_D\Gamma(x,y)\,dx\,dy を求めよ。

题目描述​

设二维空间中沿 x,yx,y 方向的单位向量分别为 i,j\boldsymbol i,\boldsymbol j，定义算子 ∇=i∂∂x+j∂∂y\nabla=\boldsymbol i\dfrac\partial{\partial x}+\boldsymbol j\dfrac\partial{\partial y}。设 RR 为正实数，定义标量函数 Φ(r)\Phi(r)、向量函数 A(x,y)\boldsymbol A(x,y) 和标量函数 Γ(x,y)\Gamma(x,y) 如下。

Φ(r)={r2−R22R20≤r≤R,ln⁡(rR)r>R,\Phi(r)=\begin{cases} \dfrac{r^2-R^2}{2R^2}&0\le r\le R,\\[5pt] \ln\left(\dfrac rR\right)&r>R, \end{cases}
A(x,y)=∇Φ(x2+y2),\boldsymbol A(x,y)=\nabla\Phi\left(\sqrt{x^2+y^2}\right),
Γ(x,y)=∇⋅A(x,y).\Gamma(x,y)=\nabla\cdot\boldsymbol A(x,y).

回答以下各问。（50分）

(1) 画出函数 Φ(r)\Phi(r) 的大致图形。

(2) 求函数 A(x,y)\boldsymbol A(x,y)。

(3) 求函数 Γ(x,y)\Gamma(x,y)，并画出其大致图形。

(4) 设区域 D={(x,y)∣∣x∣≤2R, ∣y∣≤2R}D=\{(x,y)\mid|x|\le2R,\ |y|\le2R\}，求 ∬DΓ(x,y) dx dy\displaystyle\iint_D\Gamma(x,y)\,dx\,dy。

Kai​

(1)​

Φ(0)=−1/2\Phi(0)=-1/2、Φ(R)=0\Phi(R)=0。r<Rr<R では下に凸の放物線、r>Rr>R では単調増加する対数曲線であり、r=Rr=R で値と1階導関数が連続する。

解答図 1（既存図の局部表示）

解答図 2（既存図の局部表示）

(2)​

r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} とすると

A(x,y)={xi+yjR2r≤R,xi+yjx2+y2r>R.\boxed{\boldsymbol A(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\boldsymbol i+y\boldsymbol j}{R^2}&r\le R,\\[4pt] \dfrac{x\boldsymbol i+y\boldsymbol j}{x^2+y^2}&r>R. \end{cases}}

両式は r=Rr=R で一致し、原点では A=0\boldsymbol A=0。

(3)​

円周 r=Rr=R を除いて微分すると

Γ(x,y)={2/R2r<R,0r>R.\boxed{\Gamma(x,y)=\begin{cases}2/R^2&rR.\end{cases}}

内側では一定、外側では零である。上図右は半径方向の断面を示す。r=Rr=R では2階微分が一致しないため、古典的な散度は定義できない。この円周での値をどう定めても面積積分は変わらない。また A\boldsymbol A は連続なので境界にデルタ関数状の項は生じない。

(4)​

DD は半径 RR の円板をすべて含むから

∬DΓ dx dy=2R2⋅πR2=2π.\boxed{\iint_D\Gamma\,dx\,dy=\frac2{R^2}\cdot\pi R^2=2\pi}.
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