九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 数学 問3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の2重積分を考える。

$$I=\iint_D(x^2+ay^2)\,dx\,dy,\qquad a>0.$$

以下の各領域 $D$ を図示し、それぞれの領域に対する積分値 $I$ を求めよ。（50点）

(1) $D=\{(x,y)\mid0\le x\le3,\ 0\le y\le4\}$

(2) $D=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\le1\}$

(3) $D=\{(x,y)\mid4\le x^2+y^2\le9\}$

题目描述

考虑下列二重积分。

$$I=\iint_D(x^2+ay^2)\,dx\,dy,\qquad a>0.$$

分别画出以下各区域 $D$，并求各区域对应的积分值 $I$。（50分）

(1) $D=\{(x,y)\mid0\le x\le3,\ 0\le y\le4\}$。

(2) $D=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\le1\}$。

(3) $D=\{(x,y)\mid4\le x^2+y^2\le9\}$。

Kai

3領域の概形は次の通りである。

(1)

$$I=\int_0^3\int_0^4(x^2+ay^2)\,dy\,dx =\boxed{36+64a}.$$

(2)

頂点は $(0,0),(1/2,0),(0,1)$。従って

$$\begin{aligned} I&=\int_0^{1/2}\int_0^{1-2x}(x^2+ay^2)\,dy\,dx\\ &=\int_0^{1/2}\left[x^2(1-2x)+\frac a3(1-2x)^3\right]dx =\boxed{\frac1{96}+\frac a{24}}. \end{aligned}$$

(3)

半径2と3の同心円に挟まれた円環である。極座標を用いると

$$\begin{gathered} I=\int_0^{2\pi}\int_2^3\rho^3(\cos^2\theta+a\sin^2\theta)\,d\rho\,d\theta\\ =\boxed{\frac{65\pi}{4}(1+a)}. \end{gathered}$$