九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 数学 問1

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• 二阶线性常微分方程
• 伯努利方程
• 可分离变量的常微分方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の問いに答えよ。（50点）

(1) 以下の微分方程式について、各問に答えよ。

$$\frac{dy}{dx}+3xy=xy^a+f(x).$$

(1.1) $f(x)=0,\ a=1$ の時、一般解 $y(x)$ を求めよ。

(1.2) $f(x)=0,\ a=2$ の時、一般解 $y(x)$ を $u(x)=\dfrac1{y(x)}$ と変数変換することにより求めよ。

(1.3) $f(x)=2x,\ a=2$ の時、一般解 $y(x)$ を求めよ。ただし、$y(x)=k$（定数）が解の1つである。

(2) 以下の微分方程式の一般解 $y(x)$ を求めよ。

$$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=\cos x.$$

题目描述

回答以下问题。（50分）

(1) 对于下列微分方程，回答各问。

$$\frac{dy}{dx}+3xy=xy^a+f(x).$$

(1.1) 当 $f(x)=0,\ a=1$ 时，求通解 $y(x)$。

(1.2) 当 $f(x)=0,\ a=2$ 时，通过变量替换 $u(x)=\dfrac1{y(x)}$ 求通解 $y(x)$。

(1.3) 当 $f(x)=2x,\ a=2$ 时，求通解 $y(x)$。已知 $y(x)=k$（常数）是其中一个解。

(2) 求下列微分方程的通解 $y(x)$。

$$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=\cos x.$$

Kai

(1.1)

$y'=-2xy$ より $\boxed{y=Ce^{-x^2}}$。$C=0$ も含む。

(1.2)

$y\ne0$ では $u=1/y$ とおくと $u'-3xu=-x$。積分因子 $e^{-3x^2/2}$ を掛けて積分すれば

$$\begin{gathered} u=\frac13+Ce^{3x^2/2},\\ \boxed{y=\frac1{1/3+Ce^{3x^2/2}}}. \end{gathered}$$

分母が零にならない区間で成立する。代換で除いた $\boxed{y=0}$ も解である。

(1.3)

$y'=x(y-1)(y-2)$ より定数解は $y=1,2$。それ以外については

$$\begin{gathered} \int\left(-\frac1{y-1}+\frac1{y-2}\right)dy=\int x\,dx,\\ \frac{y-2}{y-1}=Ce^{x^2/2}. \end{gathered}$$

従って

$$\boxed{y=\frac{2-Ce^{x^2/2}}{1-Ce^{x^2/2}}}$$

および $\boxed{y=1}$。$y=2$ は $C=0$ に含まれる。

(2)

特性根は $1\pm i$。特解 $y_p=A\cos x+B\sin x$ を代入すると $A-2B=1$、$2A+B=0$ より $A=1/5,B=-2/5$。したがって

$$\boxed{y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+\frac15\cos x-\frac25\sin x}.$$