九州大学 工学府 機械系専攻 2016年度 材料力学 問4

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• 薄壁压力容器
• 扭转
• 应力变换与主应力

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように直径 $D$ の薄肉円筒 A と直径 $3D$ の薄肉円筒 B の一端を壁に、他端を同じ剛体に接続する。両円筒の肉厚は $t$、長さは $\ell$ で、$D\gg t$、$\ell\gg D$ とする。A と B の間の空間に内圧 $p$ を加える。各材料のヤング率は $E_A,E_B$、横弾性係数は $G_A,G_B$ である。

1. B の中央部表面に生じる長手方向と円周方向の垂直ひずみを求めよ。
2. 剛体にねじりモーメント $T$ を加えると、B の中央部表面の長手方向から $45^\circ$ の方向のひずみが $\varepsilon_0$ となった。$T$ を求めよ。

直径 $d$、肉厚 $t$ の薄肉円筒の断面二次極モーメントは $I_p=\pi d^3t/4$。必要なら

$$\varepsilon_\xi=\varepsilon_x\cos^2\theta +\varepsilon_y\sin^2\theta+\gamma_{xy}\cos\theta\sin\theta$$

を用いてよい。

题目描述

直径为 $D$、$3D$ 的同轴薄壁圆筒 A、B，左端固定，右端连接同一刚体。两筒厚度均为 $t$、长均为 $\ell$，且 $\ell\gg D\gg t$，两筒之间施加压力 $p$。材料常数为 $E_A,G_A,E_B,G_B$。求外筒 B 的轴向和环向应变；再求使 B 表面与轴向成 $45^\circ$ 方向的应变等于 $\varepsilon_0$ 的外加扭矩 $T$。

Kai

(1)

長手方向を $x$、円周方向を $y$ とする。各材料のポアソン比は、与えられた弾性定数から

$$\nu_A=\frac{E_A}{2G_A}-1,\qquad \nu_B=\frac{E_B}{2G_B}-1$$

と求められる。二材料のポアソン比が同じとは仮定しない。

A には外圧、B には内圧が作用するため

$$\sigma_{Ay}=-\frac{pD}{2t},\qquad \sigma_{By}=\frac{3pD}{2t}.$$

両円筒は同じ剛体につながっているので、軸ひずみは共通の $\varepsilon_x$ であり

$$\sigma_{Ax}=E_A\varepsilon_x+\nu_A\sigma_{Ay},\qquad \sigma_{Bx}=E_B\varepsilon_x+\nu_B\sigma_{By}.$$

端部の軸方向のつり合いは

$$\pi Dt\sigma_{Ax}+3\pi Dt\sigma_{Bx} =p\frac\pi4\{(3D)^2-D^2\}=2\pi pD^2.$$

したがって B の軸ひずみは

$$\boxed{\varepsilon_{Bx}=\varepsilon_x =\frac{pD(4+\nu_A-9\nu_B)}{2t(E_A+3E_B)}}.$$

B の円周ひずみは

$$\boxed{\varepsilon_{By} =\frac{3pD(1-\nu_B^2)}{2tE_B}-\nu_B\varepsilon_x}.$$

(2)

同じ剛体に固定されているので、両円筒のねじれ角 $\varphi$ が等しい。

$$T=\frac{\varphi}{\ell}(G_AI_{pA}+G_BI_{pB}),\qquad I_{pA}=\frac{\pi D^3t}{4},\quad I_{pB}=27I_{pA}.$$

B の表面のせん断ひずみは

$$\gamma_{Bxy}=\frac{3D}{2}\frac{\varphi}{\ell} =\frac{6T}{\pi D^2t(G_A+27G_B)}.$$

ここで等しいのは両筒のねじれ角であり、半径が違うため表面のせん断ひずみは $\gamma_B=3\gamma_A$ となる。

$45^\circ$ の変換式

$$\varepsilon_0=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_{By}}2 +\frac{\gamma_{Bxy}}2$$

に代入して

$$\boxed{T=\frac{\pi D^2t(G_A+27G_B)}6 \left(2\varepsilon_0-\varepsilon_x-\varepsilon_{By}\right)}.$$

$T$ の正方向は、図の $45^\circ$ 方向のひずみを増加させる向きに取った。