九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 材料力学 問3

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• 扭转
• 梁的挠度
• 变形协调

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の問いに答えよ。（40点）

図の構造において、丸棒の B 点にねじりモーメント $T$ を加えるとき、B 点でのねじれ角 $\phi_B$ を求めよ。丸棒は、C、F、J で剛体円板に溶接されている。$a,b,c$ は $\phi d$ に比べて十分大きく、F 点と J 点の変位量は $\phi d$ に比べて十分に小さいものとする。

図中、AC、DF、HJ は弾性体丸棒、$\phi d$ は丸棒の直径 $d$、$E$ はヤング率、$\nu$ はポアソン比である。AB の長さは $a$、BC の長さは $b$、CF と CJ の長さはそれぞれ $c$ であり、A、D、H は壁に固定されている。

题目描述

回答以下问题。（40分）

对于图示结构，在圆杆的 B 点施加扭矩 $T$ 时，求 B 点的扭转角 $\phi_B$。圆杆在 C、F、J 三点焊接于刚性圆盘。$a,b,c$ 相对于圆杆直径 $d$ 充分大，F、J 两点的位移量相对于 $d$ 充分小。

图中 AC、DF、HJ 为弹性圆杆，$\phi d$ 表示直径 $d$，$E$ 为杨氏模量，$\nu$ 为泊松比。AB 长 $a$，BC 长 $b$，CF、CJ 各长 $c$；A、D、H 固定于墙壁。

Kai

$L=a+b$、$I=\pi d^4/64$、$I_p=2I$、$G=E/[2(1+\nu)]$ とする。円板の回転角を $\varphi_C$ とする。

円板を支える二本の丸棒の回転剛性

円板が軸まわりに $\varphi_C$ だけ回ると、F、J は互いに反対方向に $c\varphi_C$ だけ横移動する。円板の法線方向は変わらないので、溶接された各棒の端部の曲げによる傾きはゼロである。よって、各棒の横方向の剛性は

$$k_b=\frac{12EI}{L^3}$$

となる。このことは、固定端を $x=0$ とするたわみ

$$\begin{gathered} v(x)=\delta\left[3\left(\frac{x}{L}\right)^2 -2\left(\frac{x}{L}\right)^3\right],\\ v(L)=\delta,\\ v'(L)=0 \end{gathered}$$

からも確かめられる。二本の横力が円板中心に及ぼす合計モーメントは $2k_bc^2\varphi_C$。

さらに、各棒の端断面は円板とともに軸まわりに回転するため、二本の棒自身にもねじりが生じ、合計 $2GI_p\varphi_C/L$ のモーメントを支持する。したがって円板の回転剛性は

$$\boxed{K_C=\frac{24EIc^2}{L^3}+\frac{2GI_p}{L}}.$$

中央棒との適合条件

AB、BC が支持するねじりモーメントをそれぞれ $T_A,T_C$ とすると

$$\begin{gathered} T_A=\frac{GI_p}{a}\varphi_B,\\ T_C=\frac{GI_p}{b}(\varphi_B-\varphi_C) =K_C\varphi_C,\\ T_A+T_C=T. \end{gathered}$$

$\varphi_C$ を消去して

$$\boxed{\varphi_B= \frac{T}{\displaystyle\frac{GI_p}{a} +\frac{GI_pK_C}{GI_p+bK_C}}}.$$

無次元量

$$\kappa=\frac{K_CL}{GI_p} =2+24(1+\nu)\frac{c^2}{L^2}$$

を用いれば、同じ答えを

$$\boxed{\varphi_B=\frac{Ta}{GI_p} \frac{L+\kappa b}{L(1+\kappa)}}$$

と書ける。溶接条件のため、外側棒を回転自由な片持ちはり端として扱ったり、外側棒のねじりを省いたりすることはできない。