九州大学 工学府 機械系専攻 2016年度 材料力学 問3

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• 梁的挠度
• 变形协调

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図の構造において、中央の丸棒 AC の B にねじりモーメント $T$ を加える。AB $=a$、BC $=b$ であり、平行な丸棒 DF、HJ の長さはともに $a+b$、円板中心 C から F、J までの距離はそれぞれ $c$ である。A、D、H は壁に固定され、各丸棒は C、F、J で剛体円板に溶接されている。

各丸棒の直径を $d$、ヤング率を $E$、ポアソン比を $\nu$ とする。$a,b,c\gg d$、F、J の変位は $d$ に比べて十分小さいものとする。B におけるねじれ角 $\varphi_B$ を求めよ。

题目描述

三根同截面平行圆杆 AC、DF、HJ 的左端固接在墙上，右端在 C、F、J 与刚性圆盘焊接。中央杆 AB 长 $a$、BC 长 $b$，上下杆均长 $a+b$，F、J 距圆盘中心 C 均为 $c$。各杆直径 $d$、杨氏模量 $E$、泊松比 $\nu$，且 $a,b,c\gg d$，端部位移很小。在 B 施加扭矩 $T$，求 B 的转角。

Kai

$L=a+b$、$I=\pi d^4/64$、$I_p=2I$、$G=E/[2(1+\nu)]$ とする。円板の回転角を $\varphi_C$ とする。

円板を支える二本の丸棒の回転剛性

円板が軸まわりに $\varphi_C$ だけ回ると、F、J は互いに反対方向に $c\varphi_C$ だけ横移動する。円板の法線方向は変わらないので、溶接された各棒の端部の曲げによる傾きはゼロである。よって、各棒の横方向の剛性は

$$k_b=\frac{12EI}{L^3}$$

となる。このことは、固定端を $x=0$ とするたわみ

$$v(x)=\delta\left[3\left(\frac{x}{L}\right)^2 -2\left(\frac{x}{L}\right)^3\right],\qquad v(L)=\delta,\quad v'(L)=0$$

からも確かめられる。二本の横力が円板中心に及ぼす合計モーメントは $2k_bc^2\varphi_C$。

さらに、各棒の端断面は円板とともに軸まわりに回転するため、二本の棒自身にもねじりが生じ、合計 $2GI_p\varphi_C/L$ のモーメントを支持する。したがって円板の回転剛性は

$$\boxed{K_C=\frac{24EIc^2}{L^3}+\frac{2GI_p}{L}}.$$

中央棒との適合条件

AB、BC が支持するねじりモーメントをそれぞれ $T_A,T_C$ とすると

$$T_A=\frac{GI_p}{a}\varphi_B, \qquad T_C=\frac{GI_p}{b}(\varphi_B-\varphi_C) =K_C\varphi_C, \qquad T_A+T_C=T.$$

$\varphi_C$ を消去して

$$\boxed{\varphi_B= \frac{T}{\displaystyle\frac{GI_p}{a} +\frac{GI_pK_C}{GI_p+bK_C}}}.$$

無次元量

$$\kappa=\frac{K_CL}{GI_p} =2+24(1+\nu)\frac{c^2}{L^2}$$

を用いれば、同じ答えを

$$\boxed{\varphi_B=\frac{Ta}{GI_p} \frac{L+\kappa b}{L(1+\kappa)}}$$

と書ける。溶接条件のため、外側棒を回転自由な片持ちはり端として扱ったり、外側棒のねじりを省いたりすることはできない。