九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 材料力学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図の構造において、以下の各問いに答えよ。ただし、各棒の伸びはその長さに比べて充分に小さいものとする。（40点）

(1) 棒 AD、棒 BD に作用する力をそれぞれ $Q,R$ とするとき、$Q$ および $R$ を求めよ。

(2) 着力点 D における水平方向変位 $\delta_{DH}$ および垂直方向変位 $\delta_{DV}$ を求めよ。

図中、$E$ はヤング率、$A$ は断面積、丸印はピン結合を表す。AD の長さは $b$、CD は半径 $a$ の四分円形の剛体、棒 BD と AD のなす角は $\theta$ である。D に下向きの荷重 $P$ が作用する。

题目描述

对于图示结构，回答下列问题。各杆的伸长与其自身长度相比充分小。（40分）

(1) 设杆 AD、BD 中的力分别为 $Q,R$，求 $Q,R$。

(2) 求载荷作用点 D 的水平位移 $\delta_{DH}$ 和竖直位移 $\delta_{DV}$。

图中 $E$ 为杨氏模量，$A$ 为截面积，圆圈表示铰接。AD 长 $b$，CD 为半径 $a$ 的四分之一圆刚体，BD 与 AD 之间的夹角为 $\theta$。D 点承受向下的载荷 $P$，各支承和连接位置如图。

Kai

(1)

$Q,R$ 以引張りを正とする。C まわりの力のモーメントのつり合いから

$$Q+R(\cos\theta+\sin\theta)=P.$$

剛体 CD は C まわりに微小回転する。CD を結ぶ直線の水平・鉛直成分はともに $a$ なので、D の右向き変位と下向き変位は等しく、これを $v$ とする。棒の伸びは

$$\lambda_{AD}=v,\qquad \lambda_{BD}=v(\cos\theta+\sin\theta).$$

$L_{BD}=b/\cos\theta$ より

$$R=Q\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta).$$

したがって、

$$\begin{gathered} K=1+\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta)^2\\ =1+\cos\theta+2\sin\theta\cos^2\theta \end{gathered}$$

とおけば

$$\boxed{\begin{gathered} Q=\frac{P}{K},\\ R=\frac{P\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{K} \end{gathered}}.$$

いずれも引張力である。

(2)

AD の伸びが D の右向き変位に等しいため

$$\boxed{\begin{gathered} \delta_{DH}=\delta_{DV}\\ =\frac{Qb}{EA}\\ =\frac{Pb}{EA\{1+\cos\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\}} \end{gathered}}.$$

$\delta_{DH}$ は右向き、$\delta_{DV}$ は下向きの大きさである。