九州大学 工学府 機械系専攻 2016年度 材料力学 問1

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• 变形协调

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図の棒 AD、BD はヤング率 $E$、断面積 $A$ の弾性棒であり、CD は半径 $a$ の四分円形の剛体である。A、B、C は壁にピン支持され、D もピン結合である。AD $=b$、AB $=a$、棒 BD と水平線のなす角を $\theta$ とする。D に下向き荷重 $P$ を加える。各棒の伸びは長さに比べて十分小さい。

1. 棒 AD、BD に作用する力をそれぞれ $Q,R$ として、$Q,R$ を求めよ。
2. D の水平方向変位 $\delta_{DH}$ と垂直方向変位 $\delta_{DV}$ を求めよ。

题目描述

两根轴向刚度为 $EA$ 的弹性杆 AD、BD 与半径 $a$ 的四分圆刚体 CD 按图铰接。A、B、C 固定，AD 长 $b$、AB 长 $a$，BD 与水平线夹角为 $\theta$。D 受向下载荷 $P$，变形很小。求 AD、BD 的轴力和 D 的水平、竖直位移。

Kai

(1)

$Q,R$ 以引張りを正とする。C まわりの力のモーメントのつり合いから

$$Q+R(\cos\theta+\sin\theta)=P.$$

剛体 CD は C まわりに微小回転する。CD を結ぶ直線の水平・鉛直成分はともに $a$ なので、D の右向き変位と下向き変位は等しく、これを $v$ とする。棒の伸びは

$$\lambda_{AD}=v,\qquad \lambda_{BD}=v(\cos\theta+\sin\theta).$$

$L_{BD}=b/\cos\theta$ より

$$R=Q\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta).$$

したがって、

$$K=1+\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta)^2 =1+\cos\theta+2\sin\theta\cos^2\theta$$

とおけば

$$\boxed{Q=\frac{P}{K},\qquad R=\frac{P\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{K}}.$$

いずれも引張力である。

(2)

AD の伸びが D の右向き変位に等しいため

$$\boxed{\delta_{DH}=\delta_{DV} =\frac{Qb}{EA} =\frac{Pb}{EA\{1+\cos\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\}}}.$$

$\delta_{DH}$ は右向き、$\delta_{DV}$ は下向きの大きさである。