九州大学工学府機械系専攻 2015年8月実施流体工学問3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

直径 $d$ の均質な剛体球の一部または全体が，密度 $\rho$ の静止した水中にある場合を考える。このとき，以下の各問に答えよ。ただし，座標系としては水平方向に $x$ 軸（右向きを正），鉛直方向に $z$ 軸（下向きを正）をとるものとする。重力加速度の大きさは $g$ とせよ。（50点）

(1) この球を水面に浮かばせたところ，水面と球の重心の $z$ 座標がちょうど一致した状態で静止した。球の密度 $\rho_s$ を求めよ。なお，水面の上側には静止した大気があるものとし，また球に働く表面張力は無視できるものとする。

(2) 問(1)の状態から，この球を鉛直下向きに微小量だけ水中に押し込んだ後，手を離した。水と大気の粘度を無視できる場合，球は振動し続ける。このときの振動数 $f$ を求めよ。なお，問(1)と同様，球に働く表面張力は無視できるものとする。

続いて，問(2)までとは密度のみが異なる，新しい球を用意した。

(3) この新しい球の全体が，仮に水中で静止しているものとする。このとき，球に働いている表面力の積分値 $(P_x,P_z)$ を求めよ。ここで， $P_x$ と $P_z$ はそれぞれ求める積分値の $x$ 成分， $z$ 成分である。

(4) この球が水中を速度 $U$ で動いている場合には，水の粘度の影響により，球には抗力 $D$ が作用する。抗力 $D$ の無次元数 $C_D$ を求めよ。

考虑一个直径为 $d$ 的均质刚性球部分或全部浸在密度为 $\rho$ 的静水中的情形，回答下列各问。坐标系的 $x$ 轴沿水平方向、向右为正， $z$ 轴沿竖直方向、向下为正。重力加速度大小为 $g$ 。（50分）

(1) 将该球放在水面上使其漂浮，球静止时，水面与球重心的 $z$ 坐标恰好相同。求球的密度 $\rho_s$ 。设水面上方为静止大气，作用在球上的表面张力可以忽略。

(2) 从(1)的状态开始，将球竖直向下压入水中一个微小距离后松手。若水和大气的黏度均可忽略，球将持续振动。求此时的频率 $f$ 。与(1)相同，忽略作用在球上的表面张力。

接下来，另准备一个仅密度与前两问中的球不同的新球。

(3) 假设这个新球整体浸没于水中并保持静止。求作用在球上的表面力的积分值 $(P_x,P_z)$ ，其中 $P_x,P_z$ 分别为所求积分值的 $x$ 分量和 $z$ 分量。

(4) 若该球在水中以速度 $U$ 运动，水的黏度会使球受到阻力 $D$ 。求阻力 $D$ 的无量纲数 $C_D$ 。

半球分の浮力と球全体の重力が釣り合うから

\rho_s g\frac{\pi d^3}{6}=\rho g\frac{\pi d^3}{12},\qquad \boxed{\rho_s=\frac\rho2}.

平衡位置から下向きの微小変位を $\eta$ とする。水線面積 $A_w=\pi d^2/4$ より、浮力の増分は上向きに $\rho gA_w\eta$ である。静水圧による復元力を用いる微小振動モデルでは

\frac{\rho\pi d^3}{12}\ddot\eta =-\rho g\frac{\pi d^2}{4}\eta, \qquad \boxed{f=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{d}}}.

この式では周囲の水の運動に伴う付加質量・造波を含めていない。粘性を無視することだけでは付加質量までゼロにはならず、それを含む厳密な振動数には流体運動の解析が別途必要となる。

静止した水による表面力は圧力のみである。閉曲面で積分すると、水平成分は相殺され、鉛直成分は浮力となる。 $z$ の正方向は下向きなので

\boxed{(P_x,P_z)=\left(0,-\rho g\frac{\pi d^3}{6}\right)}.

これは表面力の合力であり、球の重力は含めない。

$[D]=MLT^{-2}$ 、 $[\rho]=ML^{-3}$ 、 $[U]=LT^{-1}$ 、 $[d]=L$ から、無次元の抗力は

\boxed{\frac{D}{\rho U^2d^2}}

で表される。投影面積 $A_p=\pi d^2/4$ と動圧を用いる通常の抗力係数の規約では

\boxed{C_D=\frac{D}{\tfrac12\rho U^2A_p} =\frac{8D}{\pi\rho U^2d^2}}.

両者は定数倍の違いだけである。粘性係数を $\mu$ とすれば、一般に $C_D$ は $\mathrm{Re}=\rho Ud/\mu$ に依存する。