九州大学 工学府 機械系専攻 2016年度 流体工学 問3

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• 流体静力学
• 量纲分析与相似律

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

直径 $d$ の均質な剛体球の一部または全体が、密度 $\rho$ の静止した水中にある。水平右向きを $x$ 軸の正方向、鉛直下向きを $z$ 軸の正方向とする。重力加速度の大きさを $g$ として、次に答えよ。（50点）

1. 球を浮かべると、水面と球の重心の $z$ 座標が一致して静止した。球の密度 $\rho_s$ を求めよ。水面の上側は静止した大気で、表面張力は無視できる。
2. (1)の状態から球を鉛直下向きに微小量押し込み、手を離した。水と大気の粘度および表面張力を無視できるとき、振動数 $f$ を求めよ。
3. (2)までの球と密度のみが異なる新しい球を用意する。この球の全体が仮に水中で静止しているとき、球に働く表面力の積分値 $(P_x,P_z)$ を求めよ。
4. 新しい球が水中を速度 $U$ で動くと、水の粘度の影響により抗力 $D$ を受ける。抗力 $D$ の無次元数 $C_D$ を求めよ。

题目描述

直径 $d$ 的均质刚球位于密度 $\rho$ 的水中，以右方及竖直向下为 $x,z$ 正向。先让球恰好半浸没静止，求球的密度；再向下微压后释放，忽略黏性和表面张力，求微振动频率。另取直径相同、密度不同的新球，求其完全浸没静止时所受表面力的合力，并给出它以速度 $U$ 运动时阻力 $D$ 的无量纲表示。

Kai

(1)

半球分の浮力と球全体の重力が釣り合うから

$$\rho_s g\frac{\pi d^3}{6}=\rho g\frac{\pi d^3}{12},\qquad \boxed{\rho_s=\frac\rho2}.$$

(2)

平衡位置から下向きの微小変位を $\eta$ とする。水線面積 $A_w=\pi d^2/4$ より、浮力の増分は上向きに $\rho gA_w\eta$ である。静水圧による復元力を用いる微小振動モデルでは

$$\frac{\rho\pi d^3}{12}\ddot\eta =-\rho g\frac{\pi d^2}{4}\eta, \qquad \boxed{f=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{d}}}.$$

この式では周囲の水の運動に伴う付加質量・造波を含めていない。粘性を無視することだけでは付加質量までゼロにはならず、それを含む厳密な振動数には流体運動の解析が別途必要となる。

(3)

静止した水による表面力は圧力のみである。閉曲面で積分すると、水平成分は相殺され、鉛直成分は浮力となる。$z$ の正方向は下向きなので

$$\boxed{(P_x,P_z)=\left(0,-\rho g\frac{\pi d^3}{6}\right)}.$$

これは表面力の合力であり、球の重力は含めない。

(4)

$[D]=MLT^{-2}$、$[\rho]=ML^{-3}$、$[U]=LT^{-1}$、$[d]=L$ から、無次元の抗力は

$$\boxed{\frac{D}{\rho U^2d^2}}$$

で表される。投影面積 $A_p=\pi d^2/4$ と動圧を用いる通常の抗力係数の規約では

$$\boxed{C_D=\frac{D}{\tfrac12\rho U^2A_p} =\frac{8D}{\pi\rho U^2d^2}}.$$

両者は定数倍の違いだけである。粘性係数を $\mu$ とすれば、一般に $C_D$ は $\mathrm{Re}=\rho Ud/\mu$ に依存する。