九州大学 工学府 機械系専攻 2015年8月実施 流体工学 問1

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• 流体机械与速度三角形
• 控制体动量守恒

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように，水平に設置された内径 $D$，外径 $2D$ の環状流路内に軸流タービンの羽根車が取り付けられており，密度 $\rho$ の非圧縮性流体がこの流路内を体積流量 $Q$ で流れている。羽根車の上流断面1では，軸方向速度成分は一様であり，旋回（周方向）速度成分はゼロである。また断面1上の圧力 $p_1$ は一様である。一方，羽根車の下流断面2では，軸方向速度成分は一様であるが，旋回（周方向）速度成分 $V_{\theta2}$ は半径 $r\ (D/2\le r\le D)$ の関数であり，$V_{\theta2}(r)=k/r$ である（$k$ は定数）。また断面2上の圧力は半径方向に分布を有しており，外壁内面 $(r=D)$ での圧力値は $p_2(D)=p_{2w}$（定数かつ $p_{2w}<p_1-\rho k^2/(2D^2)$）である。両断面において半径方向の速度成分はなく，また流れは定常かつ軸対称であり，さらに一切の損失を無視できるものとして，以下の問に答えよ。（50点）

(1) 断面1および断面2それぞれにおける軸方向速度成分 $V_{z1}$ および $V_{z2}$ を求めよ。

(2) 断面2上で流体の微小部分に働く半径方向（$r$ 方向）の力の釣り合いを考え，断面2上の圧力分布 $p_2(r)$ を求めよ。

(3) 羽根車が受ける力の軸方向成分 $F_z$ を求めよ。

(4) 羽根車が受けるトルク $T$ を求めよ。

(5) 羽根車が得る単位時間あたりのエネルギー $E$ を求めよ。

题目描述

如图所示，水平放置的环形流道内径为 $D$、外径为 $2D$，其中装有轴流涡轮叶轮。密度为 $\rho$ 的不可压缩流体以体积流量 $Q$ 流过流道。在叶轮上游截面1处，轴向速度分量均匀，旋转（周向）速度分量为零，压力 $p_1$ 也均匀。在叶轮下游截面2处，轴向速度分量均匀，但旋转（周向）速度分量 $V_{\theta2}$ 是半径 $r$ 的函数，其中 $D/2\le r\le D$，且 $V_{\theta2}(r)=k/r$，$k$ 为常量。截面2上的压力沿径向分布，外壁内表面 $(r=D)$ 处的压力为 $p_2(D)=p_{2w}$，其中 $p_{2w}$ 是常量，且满足 $p_{2w}<p_1-\rho k^2/(2D^2)$。两截面上均没有径向速度分量；流动为定常且轴对称，并且所有损失均可忽略。回答下列问题。（50分）

(1) 求截面1和截面2上的轴向速度分量 $V_{z1}$ 和 $V_{z2}$。

(2) 考虑截面2上流体微元在径向（$r$ 方向）的力平衡，求该截面的压力分布 $p_2(r)$。

(3) 求叶轮所受力的轴向分量 $F_z$。

(4) 求叶轮所受转矩 $T$。

(5) 求叶轮单位时间获得的能量 $E$。

Kai

(1)

流路面積を $A$ とすると、連続の式より

$$\begin{gathered} A=\frac{3\pi D^2}{4},\\ \boxed{V_{z1}=V_{z2}=V=\frac{4Q}{3\pi D^2}}. \end{gathered}$$

(2)

半径方向の圧力勾配は向心加速度に対応するため

$$\frac{dp_2}{dr}=\rho\frac{V_{\theta2}^2}{r}=\frac{\rho k^2}{r^3}.$$

外壁の条件で積分定数を定めると

$$\boxed{p_2(r)=p_{2w}+\frac{\rho k^2}{2}\left(\frac1{D^2}-\frac1{r^2}\right)}.$$

(3)

両断面の軸方向運動量流束は等しい。したがって、流れが羽根車に及ぼす $+z$ 方向の力は圧力合力に等しい。

$$\begin{aligned} F_z&=\int_{D/2}^{D}[p_1-p_2(r)]\,2\pi r\,dr\\ &=\boxed{\frac{3\pi D^2}{4}(p_1-p_{2w}) +\pi\rho k^2\left(\log2-\frac38\right)}. \end{aligned}$$

(4)

半径 $r$ の微小環状部分を通る流量は $dQ=V\,2\pi r\,dr$ である。流体の軸まわりの角運動量増加率は

$$\int\rho rV_{\theta2}\,dQ=\rho k\int dQ=\rho Qk.$$

よって羽根車に働く反作用のトルクは、下流旋回方向を正とすれば

$$\boxed{T_z=-\rho Qk},\qquad |T|=\rho Q|k|.$$

(5)

損失がないので、羽根車の取得動力は流体の機械的エネルギー流束の減少である。高さと軸方向速度の項は相殺され、

$$\begin{aligned} E&=\int\left[p_1-p_2(r)-\frac{\rho V_{\theta2}^2(r)}2\right]dQ\\ &=\boxed{Q\left(p_1-p_{2w}-\frac{\rho k^2}{2D^2}\right)}. \end{aligned}$$

括弧内は半径によらず一定であり、題設の不等式から $E>0$ である。