九州大学 工学府 機械系専攻 2016年度 機械力学 問3

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• 纵向振动

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

密度 $\rho$、縦弾性係数 $E$、長さ $l$ の弾性丸棒の両端が固定されている。左端からの座標を $x$、断面積を $A(x)$、長手方向の変位を $u(x,t)$ とする。$c=\sqrt{E/\rho}$ を用いてよい。（50 点）

1. 縦振動の運動方程式を導け。
2. $A(x)=A_0e^{-2\gamma x}$（$A_0,\gamma$ は定数）として書き直せ。
3. $u(x,t)=U(x)\sin\omega t$ としたときの $U$ の微分方程式と、境界条件を満たし得る一般解を求めよ。
4. $r$ 次の固有角振動数 $\omega_r$ を求めよ。
5. 一様断面の棒と固有角振動数の大小を比較せよ。

题目描述

两端固定的非均匀截面弹性杆，密度、杨氏模量恒定。先推导纵振动方程，再令截面积为 $A_0e^{-2\gamma x}$，求分离后的空间方程、满足边界条件的模态及频率，并与均匀杆比较。

Kai

(1)

軸力は $N=EA(x)u_x$。微小要素の運動量収支から

$$\boxed{\rho A(x)u_{tt}=\frac{\partial}{\partial x}\left(EA(x)u_x\right).}$$

(2)

$A'/A=-2\gamma$ なので

$$\boxed{u_{tt}=c^2(u_{xx}-2\gamma u_x).}$$

(3)

$$U''-2\gamma U'+\frac{\omega^2}{c^2}U=0.$$

$U=e^{\gamma x}Y$ とおくと $Y''+(\omega^2/c^2-\gamma^2)Y=0$。両端で $Y=0$ の非自明解があるためには $\omega^2/c^2>\gamma^2$ が必要である。このとき

$$\boxed{U(x)=e^{\gamma x}(C\cos\beta x+D\sin\beta x),\qquad \beta=\sqrt{\omega^2/c^2-\gamma^2}.}$$

$\omega^2/c^2=\gamma^2$ の場合は $Y=C+Dx$、小さい場合は双曲線関数となり、どちらも両端条件を課すとゼロ解しか残らない。

(4)

$U(0)=0$ より $C=0$、$U(l)=0$ より $\beta l=r\pi$（$r=1,2,\ldots$）。したがって

$$\boxed{\omega_r=c\sqrt{\gamma^2+\left(\frac{r\pi}{l}\right)^2},\qquad U_r(x)\propto e^{\gamma x}\sin\frac{r\pi x}{l}.}$$

(5)

一様断面では $\omega_r^{(0)}=cr\pi/l$。よって

$$\boxed{\omega_r>\omega_r^{(0)}\quad(\gamma\ne0),}$$

$\gamma=0$ では等しい。$r=0$ は非自明な固有モードを与えない。