九州大学 工学府 機械系専攻 2015年度 熱工学 問3

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Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

厚さ $\delta$、一定の熱伝導率 $k$ の平板の面 1（$x=0$）に、一様な放射熱流束 $q_r$ が外部から入る。面 2（$x=\delta$）では放射熱の出入りはない。両面は温度 $T_f$ の流体により同じ熱伝達率 $h$ で冷却される。定常状態を考える。（45 点）

(1) 平板内に発熱がない場合：

• (1-1) 温度分布の概略を図 (b) に示せ。
• (1-2) 面 2 の温度 $T_2$ と流体温度の差 $T_2-T_f$ を求めよ。

(2) 単位体積当たり一様な発熱 $H$ があり、$x=\delta/3$ で最高温度となる場合：

• (2-1) 温度分布の概略を図 (c) に示せ。
• (2-2) $T(x)=ax^2+bx+c$ として $H$ を題文の記号で求めよ。

题目描述

厚 $\delta$、导热系数 $k$ 的平板，两侧均由温度 $T_f$、换热系数 $h$ 的流体冷却。仅左面接收向内的辐射热流 $q_r$。分别画出无内热源、有均匀体积热源且最高温度位于 $\delta/3$ 时的温度分布；求前者右表面的温升，以及后者所需体积发热率 $H$。

Kai

(1-1)

$kT''=0$ より、板内は面 1 から面 2 に向かって直線的に温度が下がる。$T_1>T_2>T_f$ となる。

(1-2)

右向きの伝導熱流束を $q$ とする。両面の熱収支より

$$q=h(T_2-T_f)=\frac{k}{\delta}(T_1-T_2),\qquad q_r=h(T_1-T_f)+q.$$

したがって

$$\boxed{T_2-T_f=\frac{kq_r}{h(2k+h\delta)}.}$$

(2-1)

$kT''+H=0$ なので温度分布は上に凸の放物線で、$x=\delta/3$ に極大をもつ。面温度は $T_1>T_2>T_f$ となる。

(2-2)

$T'(\delta/3)=0$、$T(0)=T_1$ より

$$T(x)=T_1+\frac{H\delta}{3k}x-\frac{H}{2k}x^2, \qquad T_1-T_2=\frac{H\delta^2}{6k}.$$

左面から外へ向かう伝導熱流束は $H\delta/3$、右面では $2H\delta/3$。したがって

$$h(T_1-T_f)=q_r+\frac{H\delta}{3},\qquad h(T_2-T_f)=\frac{2H\delta}{3}.$$

両式を引いて温度差を代入すると

$$\boxed{H=\frac{6kq_r}{\delta(2k+h\delta)}.}$$