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九州大学 工学府 機械系専攻 2014年8月実施 熱工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

ガスサイクルがあり，状態1→状態2は断熱圧縮過程，状態2→状態3は等圧加熱過程，状態3→状態4はポリトロープ膨張過程，状態4→状態1は等積放熱過程で，全ての過程は可逆過程である。作動ガスは温度によらず比熱が一定の理想気体とし，その気体定数を RR，比熱比を κ\kappa とする。状態1における温度および比体積は T1,v1T_1,v_1 とする。ここで，状態2，3における比体積を v2,v3v_2,v_3 としたとき v1/v2=εv_1/v_2=\varepsilon，v3/v2=σv_3/v_2=\sigma，1<σ<ε1<\sigma<\varepsilon である。さらに，状態3→状態4の過程におけるポリトロープ指数は nn であり 1<n<κ1<n<\kappa とする。作動ガスを加熱する場合の熱量を正として，以下の問いに答えよ。解答には，T1,ε,σ,R,κ,nT_1,\varepsilon,\sigma,R,\kappa,n のうち必要なものを用いよ。（55点）

(1) 状態2→状態3の間での単位質量あたりの作動ガスの加熱量 q23q_{23} を求めよ。

(2) 状態3→状態4の間で単位質量あたりの作動ガスが外部へなす絶対仕事 l34l_{34} を求めよ。つぎに，単位質量あたりの作動ガスを出入りする熱量 q34q_{34} を求めよ。また，この過程は加熱過程，放熱過程のいずれであるかを示せ。

(3) 状態4→状態1の間に単位質量あたりの作動ガスを出入りする熱量 q41q_{41} を求めよ。

(4) このサイクルにより単位質量あたりの作動ガスがなす絶対仕事 ll を求めよ。

(5) このサイクルの状態1，2，3は変更せずに，状態3→状態4を断熱膨張過程である状態3→状態4′に変更し，状態4′→状態1は等積放熱過程としたサイクル1→2→3→4′→1の熱効率 η\eta を求めよ。

题目描述​

某气体循环中，状态1→2为绝热压缩，2→3为等压加热，3→4为多变膨胀，4→1为等容放热，所有过程均可逆。工质为比热不随温度变化的理想气体，气体常数为 RR，比热比为 κ\kappa。状态1的温度、比体积分别为 T1,v1T_1,v_1。状态2、3的比体积为 v2,v3v_2,v_3，满足 v1/v2=εv_1/v_2=\varepsilon、v3/v2=σv_3/v_2=\sigma、1<σ<ε1<\sigma<\varepsilon。过程3→4的多变指数为 nn，且 1<n<κ1<n<\kappa。规定向工质加热的热量为正，回答下列问题；答案使用 T1,ε,σ,R,κ,nT_1,\varepsilon,\sigma,R,\kappa,n 中必要的量表示。（55分）

(1) 求过程2→3中单位质量工质的加热量 q23q_{23}。

(2) 求过程3→4中单位质量工质对外所做的绝对功 l34l_{34}，以及工质进出的热量 q34q_{34}。说明该过程是吸热还是放热过程。

(3) 求过程4→1中单位质量工质进出的热量 q41q_{41}。

(4) 求单位质量工质通过此循环所做的绝对功 ll。

(5) 保持状态1、2、3不变，将过程3→4改为绝热膨胀过程3→4′，再经等容放热过程4′→1返回。求循环1→2→3→4′→1的热效率 η\eta。

Kai​

比熱と各状態の温度は

cv=Rκ−1,cp=κRκ−1,T2=T1εκ−1,T3=T1σεκ−1,T4=T1σnεκ−n.\begin{gathered} c_v=\frac{R}{\kappa-1},\\ c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1},\\ T_2=T_1\varepsilon^{\kappa-1},\\ T_3=T_1\sigma\varepsilon^{\kappa-1},\\ T_4=T_1\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}. \end{gathered}

(1)​

q23=cp(T3−T2)=κRT1κ−1εκ−1(σ−1).\boxed{q_{23}=c_p(T_3-T_2)=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1}\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1).}

(2)​

pvn=一定p v^n=\text{一定} を積分すると

l34=R(T3−T4)n−1=RT1n−1(σεκ−1−σnεκ−n).\boxed{\begin{gathered} l_{34}=\frac{R(T_3-T_4)}{n-1}\\ =\frac{RT_1}{n-1}\left(\sigma\varepsilon^{\kappa-1}-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right). \end{gathered}}

第一法則より

q34=cv(T4−T3)+l34=RT1(κ−n)(κ−1)(n−1)(σεκ−1−σnεκ−n).\boxed{\begin{gathered} q_{34}=c_v(T_4-T_3)+l_{34}\\ =\frac{RT_1(\kappa-n)}{(\kappa-1)(n-1)} \left(\sigma\varepsilon^{\kappa-1}-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right). \end{gathered}}

T4/T3=(σ/ε)n−1<1T_4/T_3=(\sigma/\varepsilon)^{n-1}<1、κ>n\kappa>n より q34>0q_{34}>0、したがって加熱過程である。

(3)​

q41=cv(T1−T4)=RT1κ−1(1−σnεκ−n)<0.\boxed{\begin{gathered} q_{41}=c_v(T_1-T_4)\\ =\frac{RT_1}{\kappa-1} \left(1-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right)<0. \end{gathered}}

(4)​

一周の内部エネルギー変化はゼロ、q12=0q_{12}=0 なので

l=RT1κ−1[κεκ−1(σ−1)+κ−nn−1(σεκ−1−σnεκ−n)+1−σnεκ−n].\boxed{l=\frac{RT_1}{\kappa-1}\left[\begin{gathered} \kappa\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1)\\ +\frac{\kappa-n}{n-1}\left(\sigma\varepsilon^{\kappa-1}-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right)\\ +1-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n} \end{gathered}\right].}

(5)​

断熱膨張後の温度は T4′=T3(σ/ε)κ−1=T1σκT_{4'}=T_3(\sigma/\varepsilon)^{\kappa-1}=T_1\sigma^\kappa。よって

η=1−cv(T4′−T1)cp(T3−T2)=1−σκ−1κεκ−1(σ−1).\boxed{\begin{gathered} \eta=1-\frac{c_v(T_{4'}-T_1)}{c_p(T_3-T_2)}\\ =1-\frac{\sigma^\kappa-1}{\kappa\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1)}. \end{gathered}}
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