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九州大学 工学府 機械系専攻 2015年度 熱工学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

理想気体を作動流体とする可逆サイクルを考える。1→21\to2 は断熱圧縮、2→32\to3 は等圧加熱、3→43\to4 はポリトロープ膨張、4→14\to1 は等積放熱である。気体定数を RR、一定の比熱比を κ\kappa とする。状態 1 の温度、比体積を T1,v1T_1,v_1 とし、v1/v2=εv_1/v_2=\varepsilon、v3/v2=σv_3/v_2=\sigma、1<σ<ε1<\sigma<\varepsilon とする。ポリトロープ指数は 1<n<κ1<n<\kappa である。加熱を正として、T1,ε,σ,R,κ,nT_1,\varepsilon,\sigma,R,\kappa,n の必要なものを用いて答えよ。（55 点）

  1. 単位質量当たりの加熱量 q23q_{23} を求めよ。
  2. 単位質量当たりの絶対仕事 l34l_{34} と熱量 q34q_{34} を求め、加熱・放熱のいずれかを示せ。
  3. 単位質量当たりの熱量 q41q_{41} を求めよ。
  4. サイクルの単位質量当たりの絶対仕事 ll を求めよ。
  5. 状態 1、2、3 を変えず、3→43\to4 を断熱膨張 3→4′3\to4' に置き換え、4′→14'\to1 を等積放熱としたサイクルの熱効率を求めよ。

题目描述​

理想气体经历可逆绝热压缩、等压加热、多变膨胀及等容放热。压缩比 ε=v1/v2\varepsilon=v_1/v_2，截断比 σ=v3/v2\sigma=v_3/v_2，1<σ<ε1<\sigma<\varepsilon，多变指数 1<n<κ1<n<\kappa。求各指定过程的热量、多变膨胀功、循环净功，以及将多变膨胀改为绝热膨胀后的热效率。吸热为正，答案使用题给参数。

Kai​

比熱と各状態の温度は

cv=Rκ−1,cp=κRκ−1,T2=T1εκ−1,T3=T1σεκ−1,T4=T1σnεκ−n.c_v=\frac{R}{\kappa-1},\qquad c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1},\qquad T_2=T_1\varepsilon^{\kappa-1},\quad T_3=T_1\sigma\varepsilon^{\kappa-1},\quad T_4=T_1\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}.

(1)​

q23=cp(T3−T2)=κRT1κ−1εκ−1(σ−1).\boxed{q_{23}=c_p(T_3-T_2)=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1}\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1).}

(2)​

pvn=一定p v^n=\text{一定} を積分すると

l34=R(T3−T4)n−1=RT1n−1(σεκ−1−σnεκ−n).\boxed{l_{34}=\frac{R(T_3-T_4)}{n-1} =\frac{RT_1}{n-1}\left(\sigma\varepsilon^{\kappa-1}-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right).}

第一法則より

q34=cv(T4−T3)+l34=RT1(κ−n)(κ−1)(n−1)(σεκ−1−σnεκ−n).\boxed{q_{34}=c_v(T_4-T_3)+l_{34} =\frac{RT_1(\kappa-n)}{(\kappa-1)(n-1)} \left(\sigma\varepsilon^{\kappa-1}-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right).}

T4/T3=(σ/ε)n−1<1T_4/T_3=(\sigma/\varepsilon)^{n-1}<1、κ>n\kappa>n より q34>0q_{34}>0、したがって加熱過程である。

(3)​

q41=cv(T1−T4)=RT1κ−1(1−σnεκ−n)<0.\boxed{q_{41}=c_v(T_1-T_4)=\frac{RT_1}{\kappa-1} \left(1-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right)<0.}

(4)​

一周の内部エネルギー変化はゼロ、q12=0q_{12}=0 なので

l=RT1κ−1[κεκ−1(σ−1)+κ−nn−1(σεκ−1−σnεκ−n)+1−σnεκ−n].\boxed{l=\frac{RT_1}{\kappa-1}\left[ \kappa\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1) +\frac{\kappa-n}{n-1}\left(\sigma\varepsilon^{\kappa-1}-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right) +1-\sigma^n\varepsilon^{\kappa-n}\right].}

(5)​

断熱膨張後の温度は T4′=T3(σ/ε)κ−1=T1σκT_{4'}=T_3(\sigma/\varepsilon)^{\kappa-1}=T_1\sigma^\kappa。よって

η=1−cv(T4′−T1)cp(T3−T2)=1−σκ−1κεκ−1(σ−1).\boxed{\eta=1-\frac{c_v(T_{4'}-T_1)}{c_p(T_3-T_2)} =1-\frac{\sigma^\kappa-1}{\kappa\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1)}.}
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