九州大学 工学府 機械系専攻 2014年8月実施 数学 問4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

関数 $f(x)$ は、以下のように定義される。

$$f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt.$$

このとき、次の各問いに答えよ。（50点）

(1) $f(1)$ を求めよ。

(2) $f(x+1)=xf(x)$ を示せ。

(3) $f(n+1)$ を求めよ。ただし $n$ は自然数とする。

(4) $f\left(\dfrac12\right)$ を求めよ。

(5) $f\left(n+\dfrac12\right)$ を求めよ。ただし $n$ は自然数とする。

题目描述

函数 $f(x)$ 定义为

$$f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt.$$

回答以下各问。（50分）

(1) 求 $f(1)$。

(2) 证明 $f(x+1)=xf(x)$。

(3) 求 $f(n+1)$，其中 $n$ 为自然数。

(4) 求 $f\left(\dfrac12\right)$。

(5) 求 $f\left(n+\dfrac12\right)$，其中 $n$ 为自然数。

Kai

積分は $x>0$ で収束する。この範囲で以下を計算する。

(1)

$$\boxed{f(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=1}.$$

(2)

$x>0$ では端点項が消えるので、部分積分により

$$\begin{gathered} f(x+1)=\left[-e^{-t}t^x\right]_0^\infty+x\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt\\ =\boxed{xf(x)}. \end{gathered}$$

(3)

$$\boxed{f(n+1)=n(n-1)\cdots1\cdot f(1)=n!}.$$

(4)

$t=u^2$ と変換すると $f(1/2)=2\int_0^\infty e^{-u^2}du$。$J=\int_0^\infty e^{-u^2}du$ とおけば、極座標変換から

$$J^2=\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho\,d\rho\,d\theta=\frac\pi4.$$

$J>0$ より $\boxed{f(1/2)=\sqrt\pi}$。

(5)

(2) を繰り返すと

$$\boxed{\begin{gathered} f\left(n+\frac12\right) =\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots1}{2^n}\sqrt\pi\\ =\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi \end{gathered}}.$$