九州大学工学府機械系専攻 2014年8月実施数学問3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

次の各問いに答えよ。（50点）

(1) 領域 $D=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ を図示せよ。

(2) 上記領域 $D$ において、 $0\le x\le1$ を満たす領域を $D_1$ とする。このとき

\iint_{D_1}xy\,dx\,dy

を計算せよ。

(3) 積分領域を $D$ とし、以下の積分を計算せよ。

\iint_D\frac1{x^2+y^2}\,dx\,dy.

回答以下各问。（50分）

(1) 画出区域 $D=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}$ 。

(2) 将上述区域 $D$ 中满足 $0\le x\le1$ 的部分记为 $D_1$ ，计算

\iint_{D_1}xy\,dx\,dy.

(3) 以 $D$ 为积分区域，计算下列积分。

\iint_D\frac1{x^2+y^2}\,dx\,dy.

$D$ は第1象限の半径1と2の円弧に挟まれた閉領域である。

四分の一円環とD1

\begin{aligned} \iint_{D_1}xy\,dx\,dy &=\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1\frac x2\{(4-x^2)-(1-x^2)\}\,dx =\boxed{\frac34}. \end{aligned}

$x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta$ と変換すると

\begin{gathered} \iint_D\frac{dx\,dy}{x^2+y^2} =\int_0^{\pi/2}\int_1^2\frac{\rho\,d\rho\,d\theta}{\rho^2}\\ =\boxed{\frac\pi2\log2}. \end{gathered}