跳到主要内容

九州大学 工学府 機械系専攻 2015年度 数学 問3

标签：

Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の各問いに答えよ。（50点）

  1. 領域 D={(x,y)∣1≤x2+y2≤4, x≥0, y≥0}D=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\} を図示せよ。
  2. 上記領域 DD において、0≤x≤10\le x\le1 を満たす領域を D1D_1 とする。このとき ∬D1xy dx dy\iint_{D_1}xy\,dx\,dy を計算せよ。
  3. 積分領域を DD とし、∬D(x2+y2)−1 dx dy\iint_D(x^2+y^2)^{-1}\,dx\,dy を計算せよ。

题目描述​

画第一象限的四分之一圆环，计算其左侧 0≤x≤10\le x\le1 子区域上的 xyxy 积分，以及整个圆环上的 (x2+y2)−1(x^2+y^2)^{-1} 积分。

Kai​

(1)​

DD は第1象限の半径1と2の円弧に挟まれた閉領域である。

四分の一円環とD1

(2)​

∬D1xy dx dy=∫01∫1−x24−x2xy dy dx=∫01x2{(4−x2)−(1−x2)} dx=34.\begin{aligned} \iint_{D_1}xy\,dx\,dy &=\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1\frac x2\{(4-x^2)-(1-x^2)\}\,dx =\boxed{\frac34}. \end{aligned}

(3)​

x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θx=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta と変換すると

∬Ddx dyx2+y2=∫0π/2∫12ρ dρ dθρ2=π2log⁡2.\iint_D\frac{dx\,dy}{x^2+y^2} =\int_0^{\pi/2}\int_1^2\frac{\rho\,d\rho\,d\theta}{\rho^2} =\boxed{\frac\pi2\log2}.
本页目录