九州大学 工学府 機械系専攻 2015年度 材料力学 問4

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• 薄壁压力容器
• 应力变换与主应力
• 扭转

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図4の両端が閉じた薄肉円筒は内圧 $q_0$ を受けている。外直径は $D$、肉厚は $h$、長さは $\ell$、材料定数は $E,\nu$ とし、$\ell\gg a>D\gg h$ とする。両端に図の軸方向引張力 $P$ と、長さ $2a$ の腕に作用する一対の荷重 $Q$ を加えられる。

1. 中央表面 A で軸方向応力 $\sigma_x$ と円周方向応力 $\sigma_y$ が等しくなる $P$ を $q_0$ の関数として求めよ。
2. その $P$ に加えて図の $Q$ を作用させる。$xy$ 軸から $\theta$ だけ傾いた $\xi\eta$ 軸方向の垂直ひずみが $\varepsilon_\xi=-\nu\varepsilon_\eta$ を満たすとき、$Q$ を $q_0$ の関数として求めよ。

必要なら

$$\sigma_\xi=\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta +2\tau_{xy}\cos\theta\sin\theta$$

を用いてよい。

题目描述

图示封闭薄壁圆筒受内压 $q_0$，外径 $D$、壁厚 $h$、长 $\ell$、材料参数 $E,\nu$，且 $\ell\gg a>D\gg h$。求使中部轴向和环向正应力相等的端部拉力 $P$；再加图示力偶 $Q$ 后，若倾斜 $\theta$ 的两正交方向应变满足 $\varepsilon_\xi=-\nu\varepsilon_\eta$，求 $Q$。

Kai

(1)

$$\sigma_x=\frac{q_0D}{4h}+\frac{P}{\pi Dh},\qquad \sigma_y=\frac{q_0D}{2h}.$$

$\sigma_x=\sigma_y$ とおいて

$$\boxed{P=\frac{\pi D^2q_0}{4}}.$$

以下、共通の正応力を $\sigma_0=q_0D/(2h)$ とする。

(2)

回転した座標でも平面応力の Hooke の法則が成り立つので

$$\varepsilon_\xi+\nu\varepsilon_\eta =\frac{1-\nu^2}{E}\sigma_\xi.$$

したがって与えられたひずみ条件は $\sigma_\xi=0$ を意味する。図の力偶の向きでは A における剪断応力は負であり

$$\tau_{xy}=-\frac{2(2aQ)}{\pi D^2h} =-\frac{4aQ}{\pi D^2h}.$$

応力変換式から

$$0=\sigma_\xi=\sigma_0+\tau_{xy}\sin2\theta =\frac{q_0D}{2h}-\frac{4aQ}{\pi D^2h}\sin2\theta.$$

よって

$$\boxed{Q=\frac{\pi D^3q_0}{8a\sin2\theta} =\frac{\pi D^3q_0}{16a\cos\theta\sin\theta}}.$$

図の $0<\theta<\pi/2$ では $Q>0$ である。