九州大学 工学府 機械系専攻 2014年8月実施 材料力学 問4

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• 薄壁压力容器
• 应力变换与主应力
• 扭转

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図4のように、薄肉円筒が内圧 $q_0$ を受けている。次の各問に答えよ。（35点）

(1) 容器中央部表面（点 A）において、$\sigma_x=\sigma_y$ となるようにさらに荷重 $P$ を作用させる。このときの $P$ を $q_0$ の関数として求めよ。

(2) (1) で求めた $P$ に加え、$Q$ も作用させた。点 A の $x$-$y$ 平面において、$x$-$y$ 軸から $\theta$ だけ傾いた軸である $\xi$-$\eta$ 軸において垂直ひずみを測定すると、$\varepsilon_\xi=-\nu\varepsilon_\eta$ であった。このときの $Q$ を $q_0$ の関数として求めよ。必要に応じて下記の応力変換式を使用してもよい。

$$\begin{aligned} \sigma_\xi={}&\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta\\ &+2\tau_{xy}\cos\theta\sin\theta. \end{aligned}$$

図中、$D$ は外直径、$\ell$ は容器長さ、$h$ は肉厚、$E$ はヤング率、$\nu$ はポアソン比であり、$\ell\gg a>D\gg h$。各端の腕の長さは中心からそれぞれ $a$ で、荷重の向きは図示のとおりである。

题目描述

如图4，薄壁圆筒承受内压 $q_0$。回答下列问题。（35分）

(1) 进一步施加载荷 $P$，使容器中央表面的 A 点满足 $\sigma_x=\sigma_y$。将此时的 $P$ 表示为 $q_0$ 的函数。

(2) 在 (1) 求得的 $P$ 之外，再施加图示载荷 $Q$。在 A 点的 $x$-$y$ 平面内，沿相对 $x$-$y$ 轴转过角度 $\theta$ 的 $\xi$-$\eta$ 轴测量正应变，得到 $\varepsilon_\xi=-\nu\varepsilon_\eta$。将此时的 $Q$ 表示为 $q_0$ 的函数。需要时可使用上面的应力变换式。

图中 $D$ 为外径，$\ell$ 为容器长度，$h$ 为壁厚，$E$ 为杨氏模量，$\nu$ 为泊松比，且 $\ell\gg a>D\gg h$。两端各力臂从中心向两侧的长度均为 $a$，载荷方向如图所示。

Kai

(1)

$$\sigma_x=\frac{q_0D}{4h}+\frac{P}{\pi Dh},\qquad \sigma_y=\frac{q_0D}{2h}.$$

$\sigma_x=\sigma_y$ とおいて

$$\boxed{P=\frac{\pi D^2q_0}{4}}.$$

以下、共通の正応力を $\sigma_0=q_0D/(2h)$ とする。

(2)

回転した座標でも平面応力の Hooke の法則が成り立つので

$$\varepsilon_\xi+\nu\varepsilon_\eta =\frac{1-\nu^2}{E}\sigma_\xi.$$

したがって与えられたひずみ条件は $\sigma_\xi=0$ を意味する。図の力偶の向きでは A における剪断応力は負であり

$$\tau_{xy}=-\frac{2(2aQ)}{\pi D^2h} =-\frac{4aQ}{\pi D^2h}.$$

応力変換式から

$$\begin{gathered} 0=\sigma_\xi\\ =\sigma_0+\tau_{xy}\sin2\theta\\ =\frac{q_0D}{2h}-\frac{4aQ}{\pi D^2h}\sin2\theta. \end{gathered}$$

よって

$$\boxed{Q=\frac{\pi D^3q_0}{8a\sin2\theta} =\frac{\pi D^3q_0}{16a\cos\theta\sin\theta}}.$$

図の $0<\theta<\pi/2$ では $Q>0$ である。