九州大学 工学府 機械系専攻 2014年8月実施 流体工学 問3 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図のような開放形の2つの円筒容器があり，内側の円筒の底面が外側の円筒の底面より h h h R R R 2 R 2R 2 R h h h 3 h 3h 3 h ω \omega ω r r r g g g
(1) それぞれの容器の底面を基準として，内側容器の水面高さ z 1 z_1 z 1 z 2 z_2 z 2 r r r
(2) ある角速度 ω 1 \omega_1 ω 1 ω 1 \omega_1 ω 1
(3) (2)のとき，この2つの円筒容器内の水面を図内に示せ。
题目描述
如图所示，有两个敞口圆筒容器，内圆筒的底面比外圆筒底面高 h h h R R R 2 R 2R 2 R h h h 3 h 3h 3 h ω \omega ω r r r g g g
(1) 分别以各容器底面为基准，求内侧容器的水面高度 z 1 z_1 z 1 z 2 z_2 z 2 r r r
(2) 当角速度为某一值 ω 1 \omega_1 ω 1 ω 1 \omega_1 ω 1
(3) 在图中画出(2)情况下两个圆筒容器内的水面。
Kai (1)
回転座標系における圧力の全微分は
d p = ρ ω 2 r d r − ρ g d z . dp=\rho\omega^2r\,dr-\rho g\,dz. d p = ρ ω 2 r d r − ρ g d z . 自由表面上では d p = 0 dp=0 d p = 0 z = ω 2 r 2 / ( 2 g ) + C z=\omega^2r^2/(2g)+C z = ω 2 r 2 / ( 2 g ) + C
∫ 0 R 2 π r z 1 ( r ) d r = π R 2 h , z 1 = h + ω 2 2 g ( r 2 − R 2 2 ) . \begin{gathered}
\int_0^R2\pi r z_1(r)\,dr=\pi R^2h,\\
\boxed{z_1=h+\frac{\omega^2}{2g}\left(r^2-\frac{R^2}{2}\right)}.
\end{gathered} ∫ 0 R 2 π r z 1 ( r ) d r = π R 2 h , z 1 = h + 2 g ω 2 ( r 2 − 2 R 2 ) . 外側水域は、r < R r<R r < R h h h R ≤ r ≤ 2 R R\le r\le2R R ≤ r ≤ 2 R 3 h 3h 3 h
∫ R 2 R 2 π r z 2 ( r ) d r = 3 π R 2 ( 3 h ) , z 2 = 3 h + ω 2 2 g ( r 2 − 5 R 2 2 ) . \begin{gathered}
\int_R^{2R}2\pi r z_2(r)\,dr=3\pi R^2(3h),\\
\boxed{z_2=3h+\frac{\omega^2}{2g}\left(r^2-\frac{5R^2}{2}\right)}.
\end{gathered} ∫ R 2 R 2 π r z 2 ( r ) d r = 3 π R 2 ( 3 h ) , z 2 = 3 h + 2 g ω 2 ( r 2 − 2 5 R 2 ) . (2)
孔の位置は r = 0 r=0 r = 0 h h h
p i n n e r = p a + ρ g ( h − ω 2 R 2 4 g ) , p o u t e r = p a + ρ g ( 2 h − 5 ω 2 R 2 4 g ) . \begin{gathered}
p_{\rm inner}=p_a+\rho g\left(h-\frac{\omega^2R^2}{4g}\right),\\
p_{\rm outer}=p_a+\rho g\left(2h-\frac{5\omega^2R^2}{4g}\right).
\end{gathered} p inner = p a + ρ g ( h − 4 g ω 2 R 2 ) , p outer = p a + ρ g ( 2 h − 4 g 5 ω 2 R 2 ) . 外側の式は、同じ流体内の p / ρ + g z − ω 2 r 2 / 2 = 一定 p/\rho+gz-\omega^2r^2/2=\text{一定} p / ρ + g z − ω 2 r 2 /2 = 一定
ω 1 = g h R . \boxed{\omega_1=\frac{\sqrt{gh}}{R}}. ω 1 = R g h . (3)
ω = ω 1 \omega=\omega_1 ω = ω 1
z 1 = 3 h 4 + h r 2 2 R 2 , z 2 = 7 h 4 + h r 2 2 R 2 . z_1=\frac{3h}{4}+\frac{hr^2}{2R^2},\qquad
z_2=\frac{7h}{4}+\frac{hr^2}{2R^2}. z 1 = 4 3 h + 2 R 2 h r 2 , z 2 = 4 7 h + 2 R 2 h r 2 . 外側容器の底から測る共通座標 Z Z Z Z = h + z 1 = z 2 Z=h+z_1=z_2 Z = h + z 1 = z 2 Z ( 0 ) = 7 h / 4 Z(0)=7h/4 Z ( 0 ) = 7 h /4 Z ( R ) = 9 h / 4 Z(R)=9h/4 Z ( R ) = 9 h /4 Z ( 2 R ) = 15 h / 4 Z(2R)=15h/4 Z ( 2 R ) = 15 h /4
