九州大学 工学府 機械系専攻 2014年8月実施 流体工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図に示すように，断面積の十分大きな水槽に水（密度 $\rho$）が水位 $H$（一定）まで貯められている。水槽の底面より $h$ だけ下方には，平板が水平を保った状態で下から線形ばね（ばね定数 $k>0$）により支えられている。平板のちょうど中央の上方の位置にあたる水槽の底面に，小孔（断面積 $a$）を開けたところ，水は小孔部で縮流することなく鉛直下方に滑らかに流出した。また，流出した水は，下方に設置された平板に衝突して平板を $x$ だけ押し下げた後，平板に沿って流れた。平板はこの状態においても水平を保ったまま静止している。重力加速度を $g$ とし，流れに損失はないものとして，以下の問に答えよ。ただし，平板の面積は小孔の断面積 $a$ と比べて十分に大きいとし，平板上を流れる水膜の厚みも無視できるとする。（50点）

(1) 小孔から流出する水の体積流量 $q$ を求めよ。

(2) 水の衝突による平板の下方への移動距離 $x$ を求めよ。

题目描述

如图所示，截面积足够大的水槽内存有密度为 $\rho$ 的水，水位保持为 $H$。在槽底下方距离 $h$ 处，一块平板保持水平，并由下方的线性弹簧支撑，弹簧刚度 $k>0$。在平板正中央上方所对应的槽底处开一个截面积为 $a$ 的小孔后，水不在孔口发生收缩，而平滑地竖直向下流出。流出的水撞击下方平板，将其向下压低距离 $x$ 后，沿平板流动。在这一状态下，平板仍保持水平且静止。设重力加速度为 $g$，流动没有损失，回答下列问题。平板面积远大于小孔截面积 $a$，平板上流动的水膜厚度也可忽略。（50分）

(1) 求从小孔流出的水的体积流量 $q$。

(2) 求水流撞击造成的平板向下位移 $x$。

Kai

(1)

水面の速度を無視して水面と小孔の間にベルヌーイの式を用いると

$$v_0=\sqrt{2gH},\qquad \boxed{q=a\sqrt{2gH}}.$$

(2)

平板が $x$ だけ下がった後、衝突直前の流速は

$$v=\sqrt{2g(H+h+x)}.$$

衝突直前から水平に流れ去る部分までを囲む薄い検査体積をとると、その内部の水の重量を無視できる。鉛直運動量の変化より、板に作用する下向きの力は $F=\rho qv$ である。初期の平板の自重は初期ばね力と釣り合っているため、増分の釣り合いから

$$kx=\rho qv=2\rho ag\sqrt{H(H+h+x)}.$$

$C=4\rho^2a^2g^2H/k^2$ とおけば $x^2=C(H+h+x)$ であり、正の根は

$$\boxed{x=\frac{C+\sqrt{C^2+4C(H+h)}}2}.$$

落下中に射流は加速・収縮するので、衝突時の流速を小孔の流速と同一視しない。