九州大学 工学府 機械系専攻 2015年度 流体工学 問1

标签：

• 九州大学
• 伯努利方程
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

断面積の十分に大きい水槽に、密度 $\rho$ の水が一定の水位 $H$ まで貯められている。水槽の底面から $h$ 下方に水平な平板があり、ばね定数 $k>0$ の線形ばねにより下から支えられている。平板の中央の真上にある水槽底面に断面積 $a$ の小孔を開けると、水は縮流せず鉛直下向きに滑らかに流出した。水は平板に衝突して平板を押し下げた後、平板に沿って流れ去る。平板は水平のまま静止した。

平板の面積は $a$ より十分に大きく、平板上の水膜厚さは無視できる。流れの損失を無視し、重力加速度を $g$ とする。（50点）

1. 小孔から流出する体積流量 $q$ を求めよ。
2. 衝突により平板が下方へ移動した距離 $x$ を求めよ。

题目描述

大水槽的恒定水深为 $H$，槽底下方 $h$ 处的水平板由刚度 $k$ 的线性弹簧支撑。槽底正对板中心开面积为 $a$ 的孔，无缩流的竖直射流冲击板，使其下降后重新静止。板面积远大于小孔，板上水膜厚度可忽略，忽略流动损失。求流量及板相对初始平衡位置的下降距离。

Kai

(1)

水面の速度を無視して水面と小孔の間にベルヌーイの式を用いると

$$v_0=\sqrt{2gH},\qquad \boxed{q=a\sqrt{2gH}}.$$

(2)

平板が $x$ だけ下がった後、衝突直前の流速は

$$v=\sqrt{2g(H+h+x)}.$$

衝突直前から水平に流れ去る部分までを囲む薄い検査体積をとると、その内部の水の重量を無視できる。鉛直運動量の変化より、板に作用する下向きの力は $F=\rho qv$ である。初期の平板の自重は初期ばね力と釣り合っているため、増分の釣り合いから

$$kx=\rho qv=2\rho ag\sqrt{H(H+h+x)}.$$

$C=4\rho^2a^2g^2H/k^2$ とおけば $x^2=C(H+h+x)$ であり、正の根は

$$\boxed{x=\frac{C+\sqrt{C^2+4C(H+h)}}2}.$$

落下中に射流は加速・収縮するので、衝突時の流速を小孔の流速と同一視しない。