九州大学 工学府 機械系専攻 2014年8月実施 機械力学 問1 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図のように、水平に設置した一様な円板が、中心を通る鉛直軸まわりに滑らかに回転できる。円板の中心から半径 r r r m 1 m_1 m 1 m 2 m_2 m 2 M M M R R R t = 0 t=0 t = 0 t = t 1 ( > 0 ) t=t_1\;(>0) t = t 1 ( > 0 ) θ \theta θ x x x g g g
(1) t < t 1 t<t_1 t < t 1
(2) 時刻 t ( 0 < t < t 1 ) t\;(0<t<t_1) t ( 0 < t < t 1 ) θ ˙ \dot\theta θ ˙ θ ¨ \ddot\theta θ ¨
(3) 時刻 t ( 0 < t < t 1 ) t\;(0<t<t_1) t ( 0 < t < t 1 ) f r f_r f r f θ f_\theta f θ
(4) おもり A と円板との間の静止摩擦係数 μ \mu μ
题目描述
如图，一均匀圆盘水平放置，可以绕通过其中心的竖直轴光滑转动。在距圆盘中心 r r r m 1 m_1 m 1 m 2 m_2 m 2 M M M R R R t = 0 t=0 t = 0 t = t 1 ( > 0 ) t=t_1\;(>0) t = t 1 ( > 0 ) θ \theta θ x x x g g g
(1) 在 t < t 1 t<t_1 t < t 1
(2) 在 0 < t < t 1 0<t<t_1 0 < t < t 1 θ ˙ \dot\theta θ ˙ θ ¨ \ddot\theta θ ¨
(3) 在 0 < t < t 1 0<t<t_1 0 < t < t 1 f r f_r f r f θ f_\theta f θ
(4) 求 A 与圆盘之间的静摩擦系数 μ \mu μ
Kai (1)
A が円板と一体で回転する間は
I = 1 2 M R 2 + m 1 r 2 . \boxed{I=\frac12MR^2+m_1r^2.} I = 2 1 M R 2 + m 1 r 2 . (2)
糸の張力を T T T
m 2 x ¨ = m 2 g − T , I θ ¨ = T R , x = R θ . \begin{gathered}
m_2\ddot x=m_2g-T,\\
I\ddot\theta=TR,\\
x=R\theta.
\end{gathered} m 2 x ¨ = m 2 g − T , I θ ¨ = TR , x = Rθ . したがって、一定の角加速度を α \alpha α
θ ¨ = α = m 2 g R I + m 2 R 2 , θ ˙ = α t . \boxed{\ddot\theta=\alpha=\frac{m_2gR}{I+m_2R^2},\qquad
\dot\theta=\alpha t.} θ ¨ = α = I + m 2 R 2 m 2 g R , θ ˙ = α t . (3)
半径の外向きを正にとる。滑り出す前は r r r − r θ ˙ 2 e r + r θ ¨ e θ -r\dot\theta^2\boldsymbol e_r+r\ddot\theta\boldsymbol e_\theta − r θ ˙ 2 e r + r θ ¨ e θ
f r = − m 1 r θ ˙ 2 = − m 1 r α 2 t 2 , f θ = m 1 r θ ¨ = m 1 r α . \boxed{\begin{gathered}
f_r=-m_1r\dot\theta^2=-m_1r\alpha^2t^2,\\
f_\theta=m_1r\ddot\theta=m_1r\alpha.
\end{gathered}} f r = − m 1 r θ ˙ 2 = − m 1 r α 2 t 2 , f θ = m 1 r θ ¨ = m 1 r α . 鉛直方向では垂直抗力 N = m 1 g N=m_1g N = m 1 g
(4)
摩擦力の大きさは時間とともに増加し、t 1 t_1 t 1
μ m 1 g = f r ( t 1 ) 2 + f θ ( t 1 ) 2 = m 1 r α 4 t 1 4 + α 2 . \begin{gathered}
\mu m_1g=\sqrt{f_r(t_1)^2+f_\theta(t_1)^2}\\
=m_1r\sqrt{\alpha^4t_1^4+\alpha^2}.
\end{gathered} μ m 1 g = f r ( t 1 ) 2 + f θ ( t 1 ) 2 = m 1 r α 4 t 1 4 + α 2 . ゆえに
μ = r α g 1 + α 2 t 1 4 , α = m 2 g R ( m 2 + M / 2 ) R 2 + m 1 r 2 . \boxed{\begin{gathered}
\mu=\frac{r\alpha}{g}\sqrt{1+\alpha^2t_1^4},\\
\alpha=\frac{m_2gR}{(m_2+M/2)R^2+m_1r^2}.
\end{gathered}} μ = g r α 1 + α 2 t 1 4 , α = ( m 2 + M /2 ) R 2 + m 1 r 2 m 2 g R . 