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九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 熱工学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

圧力 p1p_1 の湿り蒸気（状態1）を2段階で加熱して，圧力 p2 (p2>p1)p_2\,(p_2>p_1) の乾き飽和蒸気（状態2）にするプロセスを考える。2通りの方法を pvpv 線図上に示す。状態1から等積加熱により，圧力 p2p_2 の飽和液（状態a）にした後，等圧加熱で状態2にする方法と状態1から等圧加熱でb点まで変化させた後に等積加熱で状態2にする方法である。この時，飽和蒸気表から圧力 p1p_1 および p2p_2 に対して，飽和液および飽和蒸気の比体積と比エンタルピーがそれぞれ v1′,v1′′,h1′,h1′′,v2′,v2′′,h2′,h2′′v_1',v_1'',h_1',h_1'',v_2',v_2'',h_2',h_2'' で与えられている。（20点）

原題の二つの加熱経路のpv線図

(1) 状態1および状態bの乾き度 x1x_1 および xbx_b を求めよ。

(2) 状態1から状態bまで，および状態bから状態2まで変化させるのに必要な単位質量あたりの加熱量 q1bq_{1b} および qb2q_{b2} を求めよ。

(3) aを通る経路とbを通る経路では単位質量あたりの加熱量はどちらがどれだけ大きくなるか。その差を求めよ。

题目描述​

考虑将压力为 p1p_1 的湿蒸汽（状态1）分两阶段加热，变为压力 p2 (p2>p1)p_2\,(p_2>p_1) 的干饱和蒸汽（状态2）。图中的 pvpv 图给出两种方法：一种先从状态1等容加热至压力 p2p_2 的饱和液体（状态a），再等压加热至状态2；另一种先从状态1等压加热至b点，再等容加热至状态2。饱和蒸汽表给出的压力 p1,p2p_1,p_2 下饱和液体及饱和蒸汽的比体积、比焓分别为 v1′,v1′′,h1′,h1′′,v2′,v2′′,h2′,h2′′v_1',v_1'',h_1',h_1'',v_2',v_2'',h_2',h_2''。（20分）

(1) 求状态1及状态b的干度 x1,xbx_1,x_b。

(2) 求从状态1变至状态b、以及从状态b变至状态2所需的单位质量加热量 q1b,qb2q_{1b},q_{b2}。

(3) 经过a的路径与经过b的路径相比，哪一种单位质量加热量更大？求两者的差值。

Kai​

以下、気体が外部にする仕事を正、吸収する熱量を正とする。飽和液の値を ′'、乾き飽和蒸気の値を ′′'' で表す。

(1) 乾き度​

圧力 p1p_1 の湿り蒸気について

v=(1−x)v1′+xv1′′.v=(1-x)v_1'+xv_1''.

等積過程の関係から、状態1の比体積は v2′v_2'、状態bの比体積は v2′′v_2''。よって

x1=v2′−v1′v1′′−v1′,xb=v2′′−v1′v1′′−v1′.\boxed{x_1=\frac{v_2'-v_1'}{v_1''-v_1'},\qquad x_b=\frac{v_2''-v_1'}{v_1''-v_1'}}.

(2) 各過程の加熱量​

状態1、bの比エンタルピーをそれぞれ h(1),hbh_{(1)},h_b と書くと

h(1)=h1′+x1(h1′′−h1′),hb=h1′+xb(h1′′−h1′).\begin{gathered} h_{(1)}=h_1'+x_1(h_1''-h_1'),\\ h_b=h_1'+x_b(h_1''-h_1'). \end{gathered}

1→b1\to b は等圧過程なので

q1b=hb−h(1)=(xb−x1)(h1′′−h1′)=v2′′−v2′v1′′−v1′(h1′′−h1′).\boxed{\begin{gathered} q_{1b}=h_b-h_{(1)}\\ =(x_b-x_1)(h_1''-h_1')\\ =\frac{v_2''-v_2'}{v_1''-v_1'}(h_1''-h_1') \end{gathered}}.

b→2b\to2 は等積過程で境界仕事が零である。u=h−pvu=h-pv より

qb2=u2−ub=(h2′′−p2v2′′)−(hb−p1v2′′).\begin{gathered} q_{b2}=u_2-u_b\\ =(h_2''-p_2v_2'')-(h_b-p_1v_2''). \end{gathered}

したがって

qb2=h2′′−h1′−v2′′−v1′v1′′−v1′(h1′′−h1′)−(p2−p1)v2′′.\boxed{q_{b2}=h_2''-h_1' -\frac{v_2''-v_1'}{v_1''-v_1'}(h_1''-h_1') -(p_2-p_1)v_2''}.

ここで hb=(1−xb)h1′+xbh1′′h_b=(1-x_b)h_1'+x_bh_1'' を差し引くため、h1′′h_1'' の項の符号も負になる。

(3) 全加熱量の差​

両経路は始点と終点が同じなので、内部エネルギー変化も同じである。第一法則 q=Δu+wq=\Delta u+w より、加熱量の差は境界仕事の差に等しい。

wa=p2(v2′′−v2′),wb=p1(v2′′−v2′).w_a=p_2(v_2''-v_2'),\qquad w_b=p_1(v_2''-v_2').

よって

qa−qb=(p2−p1)(v2′′−v2′)>0.\boxed{q_a-q_b=(p_2-p_1)(v_2''-v_2')>0}.

aを通る経路のほうが、pp–vv 線図上の長方形の面積だけ多くの熱を必要とする。

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