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九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 熱工学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

圧力 p1p_1 の湿り蒸気（状態1）を2段階で加熱し、圧力 p2>p1p_2>p_1 の乾き飽和蒸気（状態2）にする。図の pp–vv 線図に示す2経路を考える。一方は状態1から等積加熱で圧力 p2p_2 の飽和液（状態a）にした後、等圧加熱で状態2にする経路である。他方は状態1から等圧加熱で状態bにした後、等積加熱で状態2にする経路である。圧力 p1,p2p_1,p_2 における飽和液・飽和蒸気の比体積と比エンタルピーを、それぞれ v1′,v1′′,h1′,h1′′v_1',v_1'',h_1',h_1'' および v2′,v2′′,h2′,h2′′v_2',v_2'',h_2',h_2'' とする。（20点）

公式原図

(1) 状態1、bの乾き度 x1,xbx_1,x_b を求めよ。

(2) 状態1からb、および状態bから2に必要な単位質量当たりの加熱量 q1b,qb2q_{1b},q_{b2} を求めよ。

(3) aを通る経路とbを通る経路では、単位質量当たりの加熱量はどちらがどれだけ大きいか。

题目描述​

将压力 p1p_1 的湿蒸汽加热至压力 p2>p1p_2>p_1 的干饱和蒸汽。路径a先等容达到压力 p2p_2 的饱和液体，再等压汽化；路径b先等压加热，再等容升压。利用给定的两压力下饱和液体、饱和蒸汽的比容和比焓，求初态与b点干度、路径b两阶段吸热，以及两条路径总吸热量之差。

Kai​

以下、気体が外部にする仕事を正、吸収する熱量を正とする。飽和液の値を ′'、乾き飽和蒸気の値を ′′'' で表す。

(1) 乾き度​

圧力 p1p_1 の湿り蒸気について

v=(1−x)v1′+xv1′′.v=(1-x)v_1'+xv_1''.

等積過程の関係から、状態1の比体積は v2′v_2'、状態bの比体積は v2′′v_2''。よって

x1=v2′−v1′v1′′−v1′,xb=v2′′−v1′v1′′−v1′.\boxed{x_1=\frac{v_2'-v_1'}{v_1''-v_1'},\qquad x_b=\frac{v_2''-v_1'}{v_1''-v_1'}}.

(2) 各過程の加熱量​

状態1、bの比エンタルピーをそれぞれ h(1),hbh_{(1)},h_b と書くと

h(1)=h1′+x1(h1′′−h1′),hb=h1′+xb(h1′′−h1′).h_{(1)}=h_1'+x_1(h_1''-h_1'),\qquad h_b=h_1'+x_b(h_1''-h_1').

1→b1\to b は等圧過程なので

q1b=hb−h(1)=(xb−x1)(h1′′−h1′)=v2′′−v2′v1′′−v1′(h1′′−h1′).\boxed{q_{1b}=h_b-h_{(1)} =(x_b-x_1)(h_1''-h_1') =\frac{v_2''-v_2'}{v_1''-v_1'}(h_1''-h_1')}.

b→2b\to2 は等積過程で境界仕事が零である。u=h−pvu=h-pv より

qb2=u2−ub=(h2′′−p2v2′′)−(hb−p1v2′′).q_{b2}=u_2-u_b =(h_2''-p_2v_2'')-(h_b-p_1v_2'').

したがって

qb2=h2′′−h1′−v2′′−v1′v1′′−v1′(h1′′−h1′)−(p2−p1)v2′′.\boxed{q_{b2}=h_2''-h_1' -\frac{v_2''-v_1'}{v_1''-v_1'}(h_1''-h_1') -(p_2-p_1)v_2''}.

ここで hb=(1−xb)h1′+xbh1′′h_b=(1-x_b)h_1'+x_bh_1'' を差し引くため、h1′′h_1'' の項の符号も負になる。

(3) 全加熱量の差​

両経路は始点と終点が同じなので、内部エネルギー変化も同じである。第一法則 q=Δu+wq=\Delta u+w より、加熱量の差は境界仕事の差に等しい。

wa=p2(v2′′−v2′),wb=p1(v2′′−v2′).w_a=p_2(v_2''-v_2'),\qquad w_b=p_1(v_2''-v_2').

よって

qa−qb=(p2−p1)(v2′′−v2′)>0.\boxed{q_a-q_b=(p_2-p_1)(v_2''-v_2')>0}.

aを通る経路のほうが、pp–vv 線図上の長方形の面積だけ多くの熱を必要とする。

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