九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 熱工学 問1

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• 理想气体的熵与热容

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、断面積 $S$ のシリンダを鉛直に立て、質量がともに $m$ のピストン1、2で内部を領域1、2に分割する。各領域には単位質量の同じ理想気体（気体定数 $R$、比熱比 $\kappa$）を封入する。ピストンは摩擦なく動き、固定することもできる。領域1にはヒータがある。シリンダ壁とピストンは断熱だが、ピストン2には熱を通す仕切り材があり、断熱カバーを外したときのみ両領域間で熱を交換できる。気体・断熱カバー・仕切り材の重さと、ヒータ・カバーの体積は無視する。重力加速度を $g$ とする。（55点）

(1) 両ピストンが自由に動き、断熱カバーが付いた状態で、大気圧 $p_0$、両領域の温度 $T_0$ のもとでつり合っている。各領域の高さを $h_1,h_2$ とするとき、$\alpha=h_1/h_2$ を $p_0,S,m,g$ で表せ。

(2) ピストン2を固定し、ピストン1に質量 $M$ のおもりを載せたところ、領域1の高さが $h_1/2$ になった。$M$ を $p_0,S,m,g,\kappa$ で表せ。

(3) ピストン2を固定したままおもりを下ろした後、ヒータで領域1の温度を $T_A$ まで上昇させた。加熱中に領域1の気体がした仕事 $W$ と吸収した熱量 $Q$ を $T_0,T_A,R,\kappa$ で表せ。

(4) ピストン2を固定したまま断熱カバーを外し、十分な時間が経過した後の領域1の温度 $T_B$ を $T_0,T_A,\kappa$ で表せ。

(5) 再び断熱カバーを付け、ピストン1も固定して、領域1を温度 $T_C$ までさらに加熱した。ピストン2を自由にしても動かなかった。$T_C$ を $T_0,T_B,\alpha$ で表せ。

题目描述

竖直气缸由两个相同质量的活塞分为上下两区，每区装有单位质量的同种理想气体。下活塞可通过移除隔热盖使两区交换热量。依次求：初始高度比；固定下活塞后将上区压缩至一半所需砝码质量；卸载后加热上区的功和吸热；打开导热隔板后的共同温度；固定两活塞加热上区后，释放下活塞而它不动所对应的温度。具体操作顺序及符号见上文、原图。

Kai

(2)–(3)のおもりの載せ降ろしは、準静的な断熱操作として解く。原文は操作の速さを明示していないため、以下ではこの解釈を採用する。断熱という条件だけでは、一般の不可逆操作に $pV^\kappa=\mathrm{const.}$ を適用することはできない。

(1) 初期の高さ比

初期の圧力を $p_{10},p_{20}$ とする。各ピストンの力のつり合いより

$$p_{10}=p_0+\frac{mg}{S},\qquad p_{20}=p_{10}+\frac{mg}{S}=p_0+\frac{2mg}{S}.$$

単位質量の気体なので $p_{10}Sh_1=p_{20}Sh_2=RT_0$。したがって

$$\boxed{\alpha=\frac{h_1}{h_2}=\frac{p_{20}}{p_{10}} =\frac{p_0S+2mg}{p_0S+mg}}.$$

(2) おもりの質量

準静的断熱圧縮により、領域1の圧力は

$$p_1'=p_{10}\left(\frac{h_1}{h_1/2}\right)^\kappa =2^\kappa p_{10}.$$

一方、最終的な力のつり合いは $p_1'S=p_0S+(m+M)g$ であるから

$$\boxed{M=(2^\kappa-1)\left(\frac{p_0S}{g}+m\right)}.$$

(3) 加熱中の仕事と熱量

準静的におもりを下ろすと、領域1は同じ断熱曲線を戻り、初期温度 $T_0$ に復する。その後の加熱は圧力 $p_{10}$ 一定で行われる。

$$W=p_{10}(V_{1A}-V_{10})=R(T_A-T_0).$$

$c_v=R/(\kappa-1)$、$c_p=\kappa R/(\kappa-1)$ を用いると

$$\boxed{W=R(T_A-T_0),\qquad Q=\Delta U+W=\frac{\kappa R}{\kappa-1}(T_A-T_0)}.$$

(4) 断熱カバーを外した後の温度

領域1はピストン1が動くため等圧、領域2は両境界が固定されているため等積で変化する。両領域の交換熱量の和が零なので

$$c_p(T_B-T_A)+c_v(T_B-T_0)=0.$$

よって

$$\boxed{T_B=\frac{\kappa T_A+T_0}{\kappa+1}}.$$

この間の領域1の境界仕事を含めるため、両側の熱容量をともに $c_v$ として平均してはならない。

(5) ピストン2が動かない条件

(4)の終了時の体積は

$$V_{1B}=\frac{RT_B}{p_{10}},\qquad V_{2B}=\frac{RT_0}{p_{20}}.$$

カバーを戻して両ピストンを固定すると、領域1だけが等積加熱される。したがって、解放直前の圧力は

$$p_{1C}=p_{10}\frac{T_C}{T_B},\qquad p_{2C}=p_{20}\frac{T_B}{T_0}.$$

ピストン2が動かない条件 $p_{2C}-p_{1C}=mg/S=p_{20}-p_{10}$ を代入し、$\alpha=p_{20}/p_{10}$ を使うと

$$\alpha\frac{T_B}{T_0}-\frac{T_C}{T_B}=\alpha-1.$$

ゆえに

$$\boxed{T_C=\alpha\frac{T_B^2}{T_0}+(1-\alpha)T_B}.$$