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九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 熱工学 問1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図に示すように，断面積 SS のシリンダが鉛直に立てられている。シリンダ内部は，「ピストン1」と「ピストン2」により，「領域1」と「領域2」に分割されている。それぞれの領域には，単位質量の同じ理想気体（気体定数 RR，比熱比 κ\kappa）が封入されている。ピストンはいずれも質量が mm で，摩擦なく動くことができるが，動かないように固定することもできる。領域1の気体は「ヒータ」により加熱することができる。シリンダ壁とピストンはともに断熱であるが，ピストン2には，熱の移動が可能な「仕切り材」が埋め込まれている。仕切り材が「断熱カバー」で覆われているときには，ピストン2を通過する熱の移動は無視できるが，覆われていないときには，仕切り材を通して熱のみのやりとりが可能である。気体，断熱カバー，および仕切り材の質量は十分小さく無視でき，また，ヒータおよび断熱カバーの体積も十分小さく無視できるものとする。重力加速度を gg として，以下の問に答えよ。（55点）

原題の二つのピストンと断熱カバー

(1) まず，2つのピストンが自由に動ける状態にあり，ピストン2は断熱カバーで仕切り材が覆われている。大気圧が p0p_0，領域1および領域2の温度がいずれも T0T_0 のとき，つりあいが保たれていた。それぞれの領域の高さ h1h_1 と h2h_2 の比 α=h1/h2\alpha=h_1/h_2 を，p0,S,m,gp_0,S,m,g を用いて表せ。

(2) 上の状態のまま，ピストン2を動けないように固定し，ピストン1の上に質量 MM のおもりをのせたところ，領域1の高さが h1/2h_1/2 になった。MM を p0,S,m,g,κp_0,S,m,g,\kappa を用いて表せ。

(3) 次に，ピストン2を固定したままおもりをおろしたのち，ヒータにより領域1の温度を TAT_A まで上昇させた。加熱により領域1の気体がした仕事 WW，および気体が吸収した熱量 QQ を T0,TA,R,κT_0,T_A,R,\kappa を用いて表せ。

(4) さらに，ピストン2を固定したまま，ピストン2の断熱カバーをはずした。十分に時間が経過した後の，領域1の温度 TBT_B を T0,TA,κT_0,T_A,\kappa を用いて表せ。

(5) 上の状態のまま，再びピストン2の仕切り材を断熱カバーで覆い，さらにピストン1の位置も固定したうえで，ヒータにより領域1の温度をさらに TCT_C まで上昇させた。そしてピストン2を自由に動けるようにしたが，ピストン2は動かなかった。TCT_C を T0,TB,αT_0,T_B,\alpha を用いて表せ。

题目描述​

如图，截面积为 SS 的气缸竖直放置。气缸内部由活塞1和活塞2分成区域1与区域2，各区域封入单位质量的同种理想气体（气体常数 RR，比热比 κ\kappa）。两个活塞的质量均为 mm，可无摩擦运动，也可固定使其不动。区域1的气体可用加热器加热。气缸壁和活塞均绝热，但活塞2中嵌有可传热的隔板。隔板被绝热罩覆盖时，可忽略通过活塞2的热量传递；未被覆盖时，只允许热量通过隔板交换。气体、绝热罩及隔板的质量均足够小，可以忽略；加热器和绝热罩的体积也可忽略。重力加速度为 gg，回答下列问题。（55分）

(1) 最初两个活塞均可自由运动，活塞2中的隔板被绝热罩覆盖。大气压为 p0p_0，两区域的温度均为 T0T_0，系统处于平衡。用 p0,S,m,gp_0,S,m,g 表示两区域高度之比 α=h1/h2\alpha=h_1/h_2。

(2) 在上述状态下固定活塞2，在活塞1上放质量为 MM 的重物，区域1的高度变成 h1/2h_1/2。用 p0,S,m,g,κp_0,S,m,g,\kappa 表示 MM。

(3) 接着保持活塞2固定，取下重物后，用加热器将区域1的温度升至 TAT_A。用 T0,TA,R,κT_0,T_A,R,\kappa 表示加热过程中区域1的气体所做的功 WW 和吸收的热量 QQ。

(4) 继续保持活塞2固定，移去其绝热罩。经过足够长时间后，用 T0,TA,κT_0,T_A,\kappa 表示区域1的温度 TBT_B。

(5) 在上述状态下，再次用绝热罩覆盖活塞2的隔板，并固定活塞1的位置，然后用加热器将区域1的温度进一步升至 TCT_C。随后解除活塞2的固定，使其能够自由移动，但活塞2没有移动。用 T0,TB,αT_0,T_B,\alpha 表示 TCT_C。

Kai​

(2)–(3)のおもりの載せ降ろしは、準静的な断熱操作として解く。原文は操作の速さを明示していないため、以下ではこの解釈を採用する。断熱という条件だけでは、一般の不可逆操作に pVκ=const.pV^\kappa=\mathrm{const.} を適用することはできない。

(1) 初期の高さ比​

初期の圧力を p10,p20p_{10},p_{20} とする。各ピストンの力のつり合いより

p10=p0+mgS,p20=p10+mgS=p0+2mgS.\begin{gathered} p_{10}=p_0+\frac{mg}{S},\\ p_{20}=p_{10}+\frac{mg}{S}=p_0+\frac{2mg}{S}. \end{gathered}

単位質量の気体なので p10Sh1=p20Sh2=RT0p_{10}Sh_1=p_{20}Sh_2=RT_0。したがって

α=h1h2=p20p10=p0S+2mgp0S+mg.\boxed{\alpha=\frac{h_1}{h_2}=\frac{p_{20}}{p_{10}} =\frac{p_0S+2mg}{p_0S+mg}}.

(2) おもりの質量​

準静的断熱圧縮により、領域1の圧力は

p1′=p10(h1h1/2)κ=2κp10.p_1'=p_{10}\left(\frac{h_1}{h_1/2}\right)^\kappa =2^\kappa p_{10}.

一方、最終的な力のつり合いは p1′S=p0S+(m+M)gp_1'S=p_0S+(m+M)g であるから

M=(2κ−1)(p0Sg+m).\boxed{M=(2^\kappa-1)\left(\frac{p_0S}{g}+m\right)}.

(3) 加熱中の仕事と熱量​

準静的におもりを下ろすと、領域1は同じ断熱曲線を戻り、初期温度 T0T_0 に復する。その後の加熱は圧力 p10p_{10} 一定で行われる。

W=p10(V1A−V10)=R(TA−T0).W=p_{10}(V_{1A}-V_{10})=R(T_A-T_0).

cv=R/(κ−1)c_v=R/(\kappa-1)、cp=κR/(κ−1)c_p=\kappa R/(\kappa-1) を用いると

W=R(TA−T0),Q=ΔU+W=κRκ−1(TA−T0).\boxed{\begin{gathered} W=R(T_A-T_0),\\ Q=\Delta U+W=\frac{\kappa R}{\kappa-1}(T_A-T_0) \end{gathered}}.

(4) 断熱カバーを外した後の温度​

領域1はピストン1が動くため等圧、領域2は両境界が固定されているため等積で変化する。両領域の交換熱量の和が零なので

cp(TB−TA)+cv(TB−T0)=0.c_p(T_B-T_A)+c_v(T_B-T_0)=0.

よって

TB=κTA+T0κ+1.\boxed{T_B=\frac{\kappa T_A+T_0}{\kappa+1}}.

この間の領域1の境界仕事を含めるため、両側の熱容量をともに cvc_v として平均してはならない。

(5) ピストン2が動かない条件​

(4)の終了時の体積は

V1B=RTBp10,V2B=RT0p20.V_{1B}=\frac{RT_B}{p_{10}},\qquad V_{2B}=\frac{RT_0}{p_{20}}.

カバーを戻して両ピストンを固定すると、領域1だけが等積加熱される。したがって、解放直前の圧力は

p1C=p10TCTB,p2C=p20TBT0.p_{1C}=p_{10}\frac{T_C}{T_B},\qquad p_{2C}=p_{20}\frac{T_B}{T_0}.

ピストン2が動かない条件 p2C−p1C=mg/S=p20−p10p_{2C}-p_{1C}=mg/S=p_{20}-p_{10} を代入し、α=p20/p10\alpha=p_{20}/p_{10} を使うと

αTBT0−TCTB=α−1.\alpha\frac{T_B}{T_0}-\frac{T_C}{T_B}=\alpha-1.

ゆえに

TC=αTB2T0+(1−α)TB.\boxed{T_C=\alpha\frac{T_B^2}{T_0}+(1-\alpha)T_B}.
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