九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 数学 問4

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• 有限差分

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

微分方程式 $d^2\phi/dx^2=-200$ を考える。$0\le x\le1$ を $0$ から $N$ の離散点に等分割し、$\Delta x=1/N$ とすると、任意の内点 $i$ における離散式は

$$\frac{\phi_{i-1}-2\phi_i+\phi_{i+1}}{\Delta x^2}=-200$$

となる。次の各問いに答えよ。（50点）

1. $\phi_0=\phi_N=0$ の境界条件を与えたとき、離散化した式を $A\boldsymbol\phi=\boldsymbol b$ の形式で示せ。$A$ は $(N-1)\times(N-1)$ 行列、$\boldsymbol\phi$ と $\boldsymbol b$ は $(N-1)\times1$ 行列とする。
2. 行列 $A$ の主対角成分より下の成分を全て $0$ にするよう式を変形し、そのときの $A$ と $\boldsymbol b$ を求めよ。
3. (2) から得られる $\phi_i$ と $\phi_{i+1}$ の漸化式を求めよ。
4. $N=10$ のとき、$i=0,1,\ldots,10$ の各点における $\phi_i$ を求め、グラフで図示せよ。

题目描述

将一维二阶方程的差分形式写为矩阵方程，消元得到上三角矩阵和递推关系，最后计算并画出 $N=10$ 时的各节点值。

Kai

(1)

$B=200/N^2$ とおくと、$-\phi_{i-1}+2\phi_i-\phi_{i+1}=B$ なので

$$\boxed{A=\begin{pmatrix}2&-1&&0\\-1&2&\ddots&\\&\ddots&\ddots&-1\\0&&-1&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol\phi=\begin{pmatrix}\phi_1\\\phi_2\\\vdots\\\phi_{N-1}\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=B\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}}.$$

(2)

消元後の対角成分を $d_i$、右辺を $c_i$ とすると

$$d_1=2,\ c_1=B,\qquad d_i=2-\frac1{d_{i-1}},\quad c_i=B+\frac{c_{i-1}}{d_{i-1}}.$$

帰納的に $d_i=(i+1)/i$、$c_i=B(i+1)/2$ となる。よって上三角化後は

$$\boxed{U_{ii}=\frac{i+1}{i},\quad U_{i,i+1}=-1,\quad U_{ij}=0\ \text{（それ以外）},\qquad \widetilde b_i=\frac{100(i+1)}{N^2}}.$$

(3)

$$\boxed{\phi_i=\frac{i}{i+1}\phi_{i+1}+\frac{100i}{N^2}, \qquad i=N-1,\ldots,1,\quad\phi_N=0}.$$

後退代入すると $\phi_i=100i(N-i)/N^2$ を得る。

(4)

$N=10$ では $\boxed{\phi_i=i(10-i)}$。

$i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\phi_i$	0	9	16	21	24	25	24	21	16	9	0