九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 数学 問2

标签：

• 九州大学
• 特征值与特征向量
• 凯莱–哈密顿定理

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

4行4列の行列

$$A=\begin{bmatrix} 2&1&1&1\\ 1&2&1&1\\ 1&1&2&1\\ 1&1&1&2 \end{bmatrix}$$

について、次の各問いに答えよ。（50点）

(1) $A$ の行列式を求めよ。

(2) $A$ の逆行列を求めよ。

(3) $A$ の固有方程式を求め、すべての固有値と固有ベクトルを求めよ。

(4) $2A^5-16A^4+36A^3-32A^2+11A+E$ を計算せよ。ここで $E$ は4行4列の単位行列である。

题目描述

对于4行4列矩阵

$$A=\begin{bmatrix} 2&1&1&1\\ 1&2&1&1\\ 1&1&2&1\\ 1&1&1&2 \end{bmatrix},$$

回答以下各问。（50分）

(1) 求 $A$ 的行列式。

(2) 求 $A$ 的逆矩阵。

(3) 求 $A$ 的特征方程，以及所有特征值和特征向量。

(4) 计算 $2A^5-16A^4+36A^3-32A^2+11A+E$，其中 $E$ 是4行4列单位矩阵。

Kai

全成分が $1$ の行列を $J$ とすると $A=E+J$、$J^2=4J$ である。

(1)

$J$ は $(1,1,1,1)^{\mathsf T}$ に対して固有値 $4$、その直交補空間に対して固有値 $0$ を持つ。よって $A$ の固有値は $5,1,1,1$ であり、$\boxed{\det A=5}$。

(2)

$(E+J)(E-J/5)=E$ より

$$\boxed{A^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}4&-1&-1&-1\\-1&4&-1&-1\\-1&-1&4&-1\\-1&-1&-1&4\end{pmatrix}}.$$

(3)

固有方程式と各固有空間は

$$\boxed{(\lambda-5)(\lambda-1)^3=0},$$

$$\boxed{\lambda=5:\quad v=c(1,1,1,1)^{\mathsf T},\ c\ne0},$$

$$\boxed{\begin{gathered} \lambda=1:\\ v=(a,b,c,-a-b-c)^{\mathsf T},\ (a,b,c)\ne(0,0,0) \end{gathered}}.$$

(4)

Cayley–Hamilton の定理から $A^4-8A^3+18A^2-16A+5E=0$。したがって

$$\begin{gathered} 2A^5-16A^4+36A^3-32A^2+11A+E\\ =2A(A^4-8A^3+18A^2-16A+5E)+A+E\\ =\boxed{\begin{pmatrix}3&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{pmatrix}}. \end{gathered}$$