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九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 数学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

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次の各問いに答えよ。（50点）

(1) 以下の微分方程式の一般解を求めよ。

(1+x2)y3+(1−y2)x3dydx=0.(1+x^2)y^3+(1-y^2)x^3\frac{dy}{dx}=0.

(2) ラプラス変換を用いて以下の連立微分方程式を解け。

{d2xdt2−2dxdt+d2ydt2−4y=0,d2xdt2−4x+d2ydt2−2dydt=−4t.\begin{cases} \dfrac{d^2x}{dt^2}-2\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{d^2y}{dt^2}-4y=0,\\[5pt] \dfrac{d^2x}{dt^2}-4x+\dfrac{d^2y}{dt^2}-2\dfrac{dy}{dt}=-4t. \end{cases}

ただし、

x(t)∣t=0=y(t)∣t=0=0,dxdt∣t=0=dydt∣t=0=0\begin{gathered} x(t)\big|_{t=0}=y(t)\big|_{t=0}=0,\\ \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}=0 \end{gathered}

であるとする。また、ラプラス変換は L{f(t)}=F(s)=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f(t)\}=F(s)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt で与えられる。

题目描述​

回答以下各问。（50分）

(1) 求下列微分方程的通解。

(1+x2)y3+(1−y2)x3dydx=0.(1+x^2)y^3+(1-y^2)x^3\frac{dy}{dx}=0.

(2) 用拉普拉斯变换求解下列联立微分方程。

{d2xdt2−2dxdt+d2ydt2−4y=0,d2xdt2−4x+d2ydt2−2dydt=−4t.\begin{cases} \dfrac{d^2x}{dt^2}-2\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{d^2y}{dt^2}-4y=0,\\[5pt] \dfrac{d^2x}{dt^2}-4x+\dfrac{d^2y}{dt^2}-2\dfrac{dy}{dt}=-4t. \end{cases}

初始条件为

x(t)∣t=0=y(t)∣t=0=0,dxdt∣t=0=dydt∣t=0=0.\begin{gathered} x(t)\big|_{t=0}=y(t)\big|_{t=0}=0,\\ \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}=0 \end{gathered}.

拉普拉斯变换的定义为 L{f(t)}=F(s)=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f(t)\}=F(s)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt。

Kai​

(1)​

x≠0x\ne0、y≠0y\ne0 の区間で変数分離すると

(1y3−1y)dy=−(1x3+1x)dx.\left(\frac1{y^3}-\frac1y\right)dy =-\left(\frac1{x^3}+\frac1x\right)dx.

積分して、非零解を陰関数表示すると

−12y2−log⁡∣y∣=12x2−log⁡∣x∣+C.\boxed{-\frac1{2y^2}-\log|y|=\frac1{2x^2}-\log|x|+C}.

分離時に除いた y≡0\boxed{y\equiv0} も解である。y=±1y=\pm1 は定数解ではない。上の表示は元の方程式を満たす微分可能な枝について用いる。

(2)​

X(s)=L{x}X(s)=\mathcal L\{x\}、Y(s)=L{y}Y(s)=\mathcal L\{y\} とする。初期条件を代入すると

(s2−2ss2−4s2−4s2−2s)(XY)=(0−4/s2).\begin{pmatrix}s^2-2s&s^2-4\\s^2-4&s^2-2s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\-4/s^2\end{pmatrix}.

これを解いて部分分数分解する。

X=s+2s2(s−2)(s+1)(−1)=1s2−13(s−2)+13(s+1),\begin{gathered} X=\frac{s+2}{s^2(s-2)(s+1)}(-1)\\ =\frac1{s^2}-\frac1{3(s-2)}+\frac1{3(s+1)}, \end{gathered}
Y=1s(s−2)(s+1)=−12s+16(s−2)+13(s+1).\begin{gathered} Y=\frac1{s(s-2)(s+1)}\\ =-\frac1{2s}+\frac1{6(s-2)}+\frac1{3(s+1)}. \end{gathered}

逆変換により

x(t)=t−13e2t+13e−t,y(t)=16e2t+13e−t−12.\boxed{\begin{gathered} x(t)=t-\frac13e^{2t}+\frac13e^{-t},\\ y(t)=\frac16e^{2t}+\frac13e^{-t}-\frac12 \end{gathered}}.
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