九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 数学 問1

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• 一阶常微分方程
• 拉普拉斯变换

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

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次の各問いに答えよ。（50点）

1. 以下の微分方程式の一般解を求めよ。

$$(1+x^2)y^3+(1-y^2)x^3\frac{dy}{dx}=0.$$

2. ラプラス変換を用いて以下の連立微分方程式を解け。

$$\begin{cases} x''-2x'+y''-4y=0,\\ x''-4x+y''-2y'=-4t. \end{cases} \qquad x(0)=y(0)=x'(0)=y'(0)=0.$$

ただし、ラプラス変換は $\mathcal L\{f(t)\}=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$ で与えられる。

题目描述

求一阶非线性方程的通解；用 Laplace 变换求给定零初值的二阶联立微分方程。

Kai

(1)

$x\ne0$、$y\ne0$ の区間で変数分離すると

$$\left(\frac1{y^3}-\frac1y\right)dy =-\left(\frac1{x^3}+\frac1x\right)dx.$$

積分して、非零解を陰関数表示すると

$$\boxed{-\frac1{2y^2}-\log|y|=\frac1{2x^2}-\log|x|+C}.$$

分離時に除いた $\boxed{y\equiv0}$ も解である。$y=\pm1$ は定数解ではない。上の表示は元の方程式を満たす微分可能な枝について用いる。

(2)

$X(s)=\mathcal L\{x\}$、$Y(s)=\mathcal L\{y\}$ とする。初期条件を代入すると

$$\begin{pmatrix}s^2-2s&s^2-4\\s^2-4&s^2-2s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\-4/s^2\end{pmatrix}.$$

これを解いて部分分数分解する。

$$X=\frac{s+2}{s^2(s-2)(s+1)}(-1) =\frac1{s^2}-\frac1{3(s-2)}+\frac1{3(s+1)},$$

$$Y=\frac1{s(s-2)(s+1)} =-\frac1{2s}+\frac1{6(s-2)}+\frac1{3(s+1)}.$$

逆変換により

$$\boxed{x(t)=t-\frac13e^{2t}+\frac13e^{-t},\qquad y(t)=\frac16e^{2t}+\frac13e^{-t}-\frac12}.$$