九州大学 工学府 機械系専攻 2013年8月実施 材料力学 問4

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• 薄壁压力容器
• 应力变换与主应力

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図4のように，薄肉円筒容器が内圧 $p$（未知）を受けている。このとき，次の問に答えよ。（35点）

1) 容器中央部表面（A点）において容器軸方向（$x$ 方向）と $45^\circ$ をなす方向の垂直ひずみを測定したところ $\varepsilon_0$ であった。このとき，内圧 $p$ を求めよ。

2) A点における外直径の変化量 $\delta$ を $\varepsilon_0$ の関数として求めよ。

ただし，容器の外直径を $D$，肉厚を $h$ とし，$h\ll D$ とする。また，ヤング率を $E$，ポアソン比を $\nu$ とする。必要に応じて下記の応力変換式を使用してもよい。

$$\begin{aligned} \sigma_\xi={}&\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta\\ &+2\tau_{xy}\cos\theta\sin\theta \end{aligned}$$

図中，容器長さ $\ell$ は $\ell\gg D$ を満たす。

题目描述

如图4，薄壁圆筒容器承受未知内压 $p$。回答下列问题。（35分）

1) 在容器中央表面的A点，测得与容器轴向（$x$ 方向）成 $45^\circ$ 的方向上的正应变为 $\varepsilon_0$。求内压 $p$。

2) 求A点处外直径变化量 $\delta$ 关于 $\varepsilon_0$ 的函数。

容器外直径为 $D$，壁厚为 $h$，且 $h\ll D$。杨氏模量为 $E$，泊松比为 $\nu$。需要时可以使用以下应力变换式：

$$\begin{aligned} \sigma_\xi={}&\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta\\ &+2\tau_{xy}\cos\theta\sin\theta. \end{aligned}$$

图中容器长度为 $\ell$，满足 $\ell\gg D$；坐标及角度定义如图。

Kai

(1)

薄肉近似での軸方向応力、円周方向応力は

$$\sigma_x=\frac{pD}{4h},\qquad \sigma_y=\frac{pD}{2h},\qquad \tau_{xy}=0.$$

$45^\circ$ 回転した座標では

$$\sigma_\xi=\sigma_\eta=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{3pD}{8h}.$$

したがって

$$\varepsilon_0=\frac{\sigma_\xi-\nu\sigma_\eta}{E} =\frac{3pD(1-\nu)}{8Eh},$$

$$\boxed{p=\frac{8Eh\varepsilon_0}{3D(1-\nu)}}.$$

(2)

円周方向ひずみは

$$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E} =\frac{pD(2-\nu)}{4Eh}.$$

直径の変化率も $\varepsilon_y$ なので

$$\delta=D\varepsilon_y=\frac{pD^2(2-\nu)}{4Eh}.$$

(1) の $p$ を代入して

$$\boxed{\delta=\frac{2D(2-\nu)}{3(1-\nu)}\varepsilon_0}.$$