九州大学 工学府 機械系専攻 2014年度 材料力学 問3

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• 扭转
• 应变能

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図3の半径 $a$ の半円形弾性丸棒は、両端が固定されている。断面直径は $d$、ヤング率は $E$、ポアソン比は $\nu$。半円の中央 A に長さ $\ell$ の剛体棒 AB が半径方向へ接続され、B に鉛直下向き荷重 $P$ が作用する。半円と AB は $xy$ 平面内にあり、$a,\ell\gg d$ とする。

1. A の変位を求めよ。
2. B の変位を求めよ。

题目描述

半径 $a$ 的半圆形弹性圆杆两端固定，截面直径 $d$，材料参数为 $E,\nu$。半圆中点 A 沿径向连接长 $\ell$ 的刚臂 AB，B 受竖直向下力 $P$，且 $a,\ell\gg d$。求 A、B 的位移。

Kai

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad I_p=2I,\qquad GI_p=\frac{EI}{1+\nu}.$$

対称性により、A、B の一次の変位は鉛直方向だけである。以下、下向き変位を正とする。

(1)

半円の中心を原点、A を $(a,0,0)$、B を $(a+\ell,0,0)$ とする。半円の片側、すなわち固定端 $(0,a,0)$ から A までの四分円を考える。A からこの片側に加わる荷重は下向き $p=P/2$、$+y$ 軸まわりのモーメント $T_0=P\ell/2$、および未知の $+x$ 軸まわりモーメント $m$ である。

断面位置を $(a\cos\theta,a\sin\theta,0)$、$0\leq\theta\leq\pi/2$ とする。荷重のモーメントを半径方向と接線方向に分解すると

$$M=m\cos\theta+(T_0+pa)\sin\theta,$$

$$T=-m\sin\theta+T_0\cos\theta-pa(1-\cos\theta).$$

片側に蓄えられるエネルギーは

$$U=\frac{a}{2EI}\int_0^{\pi/2} \{M^2+(1+\nu)T^2\}\,d\theta.$$

対称面 A の $x$ 軸まわり回転は 0 なので、$\partial U/\partial m=0$。これより

$$\frac{\pi(2+\nu)}4m-\frac\nu2T_0 +\frac{2+\nu}{2}pa=0,$$

$$m=\frac{2\nu T_0-2(2+\nu)pa}{\pi(2+\nu)}.$$

簡潔に表すため

$$\begin{aligned} \mathcal A&=\frac{\pi(4+3\nu)}4-2(1+\nu)-\frac{2+\nu}{\pi},\\ \mathcal B&=\frac{\pi(2+\nu)}4-(1+\nu)+\frac\nu\pi,\\ \mathcal C&=\frac{\pi(2+\nu)}4-\frac{\nu^2}{\pi(2+\nu)} \end{aligned}$$

とおく。未知モーメントを消去したエネルギーは

$$U_{\rm red}=\frac{a}{2EI} \left(a^2\mathcal A p^2+2a\mathcal B pT_0+\mathcal C T_0^2\right).$$

よって、$T_0$ を独立に保って $p$ で微分し、最後に実荷重を代入して

$$\boxed{\delta_A=\frac{\partial U_{\rm red}}{\partial p} =\frac{Pa^2}{2EI}\left(a\mathcal A+\ell\mathcal B\right) \quad\text{（下向き）}}.$$

(2)

A の $+y$ 軸まわり回転は

$$\phi_A=\frac{\partial U_{\rm red}}{\partial T_0} =\frac{Pa}{2EI}\left(a\mathcal B+\ell\mathcal C\right).$$

剛体棒 AB の回転による B の下向き変位は $\ell\phi_A$ だから

$$\boxed{\delta_B=\delta_A+\ell\phi_A =\frac{Pa}{2EI} \left(a^2\mathcal A+2a\ell\mathcal B+\ell^2\mathcal C\right) \quad\text{（下向き）}}.$$

$x,y$ 方向の一次変位はいずれも 0 である。